LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Table des matières
1 Généralités sur les espaces normés 3
1.1 Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Normes équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Applications multilinéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Applications différentiables dans les espaces normés 29
2.1 Définition d’une application différentiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Opérations sur les applications différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Applications à valeurs dans un produit d’espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Applications définies sur un produit d’espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Théorème des Accroissements Finis et Applications 47
3.1 Théorème des Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Applications du Théorème des Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Applications Strictement Différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Opérateurs de Nemicki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Primitives et Intégrales des Fonctions Réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Différentielles d’Ordre Supérieur 67
4.1 Définition des Différentielles d’Ordre Supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Propriétés de Symétrie des Différentielles d’Ordre Supérieur . . . . . . . . . . . 71
4.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4 Conditions d’Optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5 Théorèmes d’Inversion et Applications 89
5.1 Théorèmes d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Théorème des Fonctions Implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3 Application : Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4 Introductions aux sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4.1 Immersion et submersion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4.2 Définitions équivalentes des sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
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