LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

et donc, utilisant (2.3),
‖r 2 (f(x))‖
ce qui achève la démonstration.
≤
≤
≤
ε
‖f(x) − b‖
‖Df(a)‖ + 1
ε
(‖Df(a)‖ + 1)‖x − a‖
‖Df(a)‖ + 1
ε‖x − a‖,
Corollaire 2.2.1
a) Soit I ⊂ R un intervalle ouvert de R, soient E, F des espaces normés et soit x : I −→ E
et f : U −→ F une application définie sur un ouvert U de E. On suppose que x(I) ⊂ U, que x(.)
est dérivable en t ∈ I et que f est différentiable en x(t). Alors f ◦ x est dérivable en t et
(f ◦ x) ′ (t) = Df(x(t))(x ′ (t)).
b) Soit I ⊂ R un intervalle ouvert de R, soient E, F , G des espaces normés, soient x : I −→ E
et y : I −→ F . Soit f ∈ L 2 (E, F ; G) une application bilinéaire continue. On suppose que x(.) et
y(.) sont dérivables en t ∈ I. Posons z(t) = f(x(t), y(t)), alors z(.) est dérivable en t et
z ′ (t) = f(x ′ (t), y(t)) + f(x(t), y ′ (t)).
Démonstration. a) D’après le Théorème 2.2.1, f ◦ x est différentiable en t donc dérivable en t et
(f ◦ x) ′ (t) = D(f ◦ x)(t)(1) = (Df(x(t)) ◦ Dx(t))(1) = Df(x(t)(x ′ (t)).
b) On a z = f ◦ g où g(.) = (x(.), y(.)). D’après le Théorème 2.2.1 il résulte que
Dz(t) = Df(x(t), y(t)) ◦ Dg(t).
Appliquant le Théorème 2.3.1 de la section 2.3 on a
Il vient alors
z ′ (t) = Dz(t)(1)
Dg(t) = (Dx(t), Dy(t)).
= Df(x(t), y(t))(Dx(t)(1), Dy(t)(1))
= Df(x(t), y(t))(x ′ (t), y ′ (t)).
Utilisant l’Exemple 2.1.1, c), on obtient bien le résultat.
Exemple 2.2.1 Si (E, 〈·, ·〉) est un espace de Hilbert et x, y : I −→ E sont dérivables en t ∈ I,
on déduit du corollaire précédent que
(〈x(t), y(t)〉) ′ = 〈x ′ (t), y(t)〉 + 〈x(t), y ′ (t)〉.
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