LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

et
‖g‖ L m (E;L n (E;F )) = ‖(Ψ ◦ Φ)(g)‖ L m (E;L n (E;F )) = ‖Ψ(Φ(g))‖ L m (E;L n (E;F )) ≤ ‖Φ(g)‖ L n+m (E;F ),
ce qui combiné à (1.5) et (1.6) montre que
‖Φ(g)‖ L n+m (E;F ) = ‖g‖ L m (E;L n (E;F ))
et
On a donc bien le résultat.
‖Ψ(f)‖ L m (E;L n (E;F )) = ‖f‖ L n+m (E;F ).
1.6 Espaces de Hilbert
Définition 1.6.1 Un produit scalaire 〈., .〉 sur un espace vectoriel E est une fonction de E × E
dans R qui est bilinéaire symétrique (〈x, y〉 = 〈y, x〉 pour tout x, y ∈ E) non dégénérée positive
(〈x, x〉 ≥ 0 pour tout x ∈ E et 〈x, x〉 = 0 implique x = 0), E muni du produit scalaire 〈., .〉 est
dit alors préhilbertien.
Exemple 1.6.1
a) Pour tout x, y ∈ R d on pose
On définit ainsi un produit scalaire.
〈x, y〉 = x 1 y 1 + · · · + x d y d .
b) Soit l 2 défini dans l’exemple 1.2.1, c). Pour x, y ∈ l 2 , on a, pour tout N ∈ N,
N∑
|x n y n | ≤
n=1
≤
( ∑ N ) 1 ( ∑ N )
|x n | 2 2 1/2
|y n | 2
n=1
n=1
( ∑ ∞ ) 1 ( ∑ ∞ )
|x n | 2 2 1/2.
|y n | 2
n=1
Il en résulte que ∑ ∞
n=1 |x ny n | < ∞. On pose alors
On définit ainsi un produit scalaire.
〈x, y〉 =
∞∑
x n y n .
n=1
c) Soit E = C([0, 1]) l’ensemble des fonctions continues définies sur l’intervalle [0, 1]. Pour
tout f, g ∈ E posons
On définit ainsi un produit scalaire.
〈f, g〉 =
∫ 1
0
18
n=1
f(t)g(t) dt.