LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

) D’après la formule de Taylor (Théorème 4.3.3), on a
f(a + h) − f(a) = 1 2 D2 f(a)(h, h) + ‖h‖ 2 ε(h) ≥ 1 2 ‖h‖2 (α + ε(h))
avec lim h→0 ε(h) = 0. Il existe alors η > 0 tel que |ε(h)| ≤ α/4 pour tout ‖h‖ ≤ η. On obtient
alors pour tout ‖h‖ ≤ η
f(a + h) − f(a) ≥ ‖h‖ 2 α/4,
ce qui démontre bien le résultat annoncé.
Dans le cas où f : U −→ R est une fonction convexe définie sur un ouvert convexe, on a une
condition nécessaire et suffisante de minimalité.
Théorème 4.4.2 f : U −→ R est une fonction convexe définie sur un ouvert convexe d’un espace
normé. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes pour a ∈ U tel que f soit différentiable en
a :
a) f(a) = min x∈U f(x)
b) Df(a) = 0.
Démonstration. Il suffit de démontrer que b) implique a). Pour tout x ∈ U et t ∈]0, 1], on a
f(a + t(x − a)) ≤ tf(x) + (1 − t)f(a), donc
faisant tendre t vers 0, il vient
f(a + t(x − a)) − f(a)
t
≤ f(x) − f(a).
pour tout x ∈ U, d’où le résultat.
0 = Df(a)(x − a) ≤ f(x) − f(a),
Remarque 4.4.1 Il découle du théorème précédent que si fonction convexe f : U −→ R admet
un minimum local en a ∈ U, alors ce minimum est global.
On peut aussi obtenir des conditions d’optimalité pour des problèmes avec contraintes c’est à
dire pour un extremum local de f non plus sur U mais sur U ∩ M où M est une partie fermée de
E. On donnera un résultat général de ce type dans le chapitre suivant. Dans le cas des fonctions
convexes, on peut dès maintenant donner un résultat.
Théorème 4.4.3 Soit U ⊂ X un ouvert d’un espace de Hilbert et soient f, g : U −→ R deux
fonctions convexes. On suppose que
a) f est différentiable sur U et il existe y ∈ U tel que f(y) < 0.
b) ¯x ∈ S := {x ∈ U : f(x) ≤ 0} est tel que g(¯x) = inf x∈S g(x) et f est différentiable en ¯x.
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