LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

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Quand Y = R, on notera simplement C b (X, R) = C b (X). C’est un exercice facile de montrer que (C b (X, Y ), ‖·‖ ∞ ) est un espace de Banach quand c’est le cas pour (Y, ‖·‖). Dans le cas particulier où X = N et Y = R, on retrouve l’exemple c) en remarquant que C b (N) = l ∞ car toute fonction définie sur N est continue ! e) L’ensemble C 1 ([0, 1]) des fonctions continuement dérivables sur [0, 1] est un espace de Banach muni de la norme ‖f‖ C 1 = ‖f‖ ∞ + ‖f ′ ‖ ∞ est un espace de Banach (le démontrer en exercice). Plus généralement il en est de même de l’ensemble C m ([0, 1]) des fonctions m fois continuement dérivables sur [0, 1] avec m ∈ N ∗ muni de la norme ‖f‖ C m = ‖f‖ ∞ + ‖f ′ ‖ ∞ + · · · + ‖f (m) ‖ ∞ . f) L’espace C([0, 1]) des fonctions continues sur [0,1] à valeurs réelles muni de la norme ‖f‖ 1 = n’est pas un espace de Banach (le démontrer). ∫ 1 0 |f(t)| dt Définition 1.2.2 Soit (E, ‖ · ‖) un espace normé et (x n ) une suite dans E. On pose, pour tout n ∈ N, S n = ∑ n i=0 x i. On dit que la série de terme général (x n ) converge s’il en est de même de la suite (S n ) et on pose ∞∑ x i = lim S n . n→∞ i=0 On dit que la série de terme général (x n ) est normalement convergente si la série de terme général (‖x n ‖) est convergente. Théorème 1.2.1 Dans un espace de Banach (E, ‖ · ‖), toute série normalement convergente est convergente et ∞∑ ∥ ∥∥ ∑ ∞ ∥ x n ≤ ‖x n ‖. Démonstration. Soit n > m, on a n=0 n=0 ‖S n − S m ‖ = ‖x m+1 + · · · + x n ‖ ≤ T n − T m , où T n = ∑ n i=0 ‖x i‖. La suite (T n ) étant convergente est de Cauchy. Il en est donc de même de (S n ) qui est donc convergente. Par ailleurs passant à la limite quand n → +∞ dans l’inégalité ‖S n ‖ ≤ T n on obtient que ‖S‖ ≤ ‖T ‖, d’où le résultat. 7
1.3 Applications linéaires continues Théorème 1.3.1 Soient (E, ‖·‖) et (F, ‖·‖) deux espaces normés et f : E → F une application linéaire. Les propriétés suivantes sont équivalentes i) f continue sur E, ii) f continue en 0, iii) il existe M ≥ 0 tel que pour tout x ∈ E, ‖f(x)‖ ≤ M‖x‖. Démonstration. Il est clair que i) ⇒ ii) et que iii) ⇒ i) car, pour tout x, y ∈ X, ‖f(x) − f(y)‖ = ‖f(x − y)‖ ≤ M‖x − y‖. Il reste à montrer que ii) ⇒ iii). De part la continuité de f en 0, il existe η > 0 tel que, pour tout z ∈ ¯B(0, η), ‖f(z)‖ = ‖f(z) − f(0)‖ ≤ 1. Soit alors x ∈ E\{0}. Remarquant que z := η ‖x‖ x ∈ ¯B(0, η), on obtient η ‖f(x)‖ = ‖f(z)‖ ≤ 1, ‖x‖ d’où ‖f(x)‖ ≤ (1/η)‖x‖. On notera L(E, F ) l’ensemble des applications linéaires continues de E dans F . Si F = R, on note E ∗ = L(E, R) et on dit que E ∗ est le dual topologique de E. Remarque 1.3.1 On peut montrer, en utilisant le Théorème de Hahn-Banach, que pour tout espace normé (E, ‖ · ‖), E ∗ = L(E, R) ≠ {0}. On peut aussi montrer qu’il existe des applications linéaires non continues. Définition 1.3.1 Pour tout f ∈ L(E, F ), on pose : ‖f‖ = inf{M ≥ 0 : pour tout x ∈ E, ‖f(x)‖ ≤ M‖x‖}. Cette définition a bien un sens car l’ensemble de réels dont on considère la borne inférieure est non vide (Théorème 1.3.1) et minoré par 0. Proposition 1.3.1 La fonction ‖.‖ définie ci-dessus est une norme sur L(E, F ) et l’on a, ‖f(x)‖ ‖f‖ = sup x≠0 ‖x‖ = sup ‖f(x)‖ = sup ‖f(x)‖. ‖x‖≤1 ‖x‖=1 8
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Soit alors 0 < η ≤ min 1≤i≤n
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Démonstration La définition de
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Théorème 3.5.5 Soit I = [a, b] un
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d’où D p+1 f(a)(u 1 , · · · ,
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Démonstration. a) On a ϕ = (e ◦
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Si {i, j} = {1, 2}. Soient (u 3 ,
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Théorème 4.2.3 Soit f : U −→
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et f(x) ≥ f(x t ) + tDf(x t )(y
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Démonstration. On a Df = ∑ n i=1
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Démonstration. a) Remarquons qu’
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Alors il existe λ ≤ 0 tel que
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Considérons f : (E, δ) −→ (E,
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Comme r(.) est Lipschitzienne de ra
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Démonstration. Comme Isom (F, G) e
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avec Dϕ(0) = −(D 2 h(0, 0)) −1
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De plus, si f(a) = 0, on a g(U ′
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De plus, p étant injective est une
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à diminuer η que ϕ(] − η, +η
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