LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

est une norme sur L(E 1 , · · · , E n , F ), que
‖f‖ = inf{M ∈ R + : pour tout x ∈ E 2 × · · · × E n , ‖f(x)‖ ≤ M‖x 1 ‖ · · · ‖x n ‖},
et que si F est de Banach, l’espace L(E 1 , · · · , E n ; F ) est un espace de Banach muni de cette norme
(s’inspirer de la démonstration du Théorème 1.3.2). Enfin le lecteur démontrera que si E 1 , · · · , E n
sont de dimension finie toute application multilinéaire définie sur E 1 × · · · × E n est continue.
Le résultat suivant est fondamental pour l’étude des différentielles d’ordre supérieur.
Théorème 1.5.2 L’application
Φ : L m (E; L n (E; F )) → L n+m (E; F )
définie pour g ∈ L m (E; L n (E; F )) et (x 1 , · · · , x n+m ) ∈ E n+m par
Φ(g)(x 1 , · · · , x n+1 ) = g(x 1 , · · · , x m )(x 2 , · · · , x n+1 )
est une isométrie de L m (E; L n (E; F )) dans L n+m (E; F ) et l’isométrie réciproque
Ψ : L n+m (E; F ) → L m (E; L n (E; F ))
est définie, pour tout f ∈ L n+m (E; F ), (z 1 , · · · , z m ) ∈ E m et (x 1 , · · · , x n ) ∈ E n par
(Ψ(f)(z 1 , · · · , z m ))(x 1 , · · · , x n ) = f(z 1 , · · · , z m , x 1 , · · · , x n ).
Démonstration. On a
‖Φ(g)(x 1 , · · · , x n+m )‖ ≤ ‖g(x 1 , · · · , x m )‖ L n (E;F )‖x m+1 ‖ · · · ‖x n+1 ‖
≤ ‖g‖ L m (E;L n (E;F ))‖x 1 ‖ · · · ‖x m ‖ · ‖x 2 ‖ · · · ‖x n+1 ‖
ce qui montre que Φ(g) ∈ L n+m (E; F ) et
‖Φ(g)‖ L n+m (E;F ) ≤ ‖g‖ L m (E;L n (E;F )). (1.5)
Par ailleurs, pour tout (z 1 , · · · , z m ) ∈ E m ,
‖Ψ(f)(z 1 · · · , z m )(x 1 , · · · , x n )‖ ≤ ‖f‖ L n+m (E;F )‖z 1 ‖ · · · ‖z m ‖ · ‖x 1 ‖ · · · ‖x n ‖
ce qui montre que Ψ(f) ∈ L m (E; L n (E; F )) et
‖Ψ(f)(z 1 , · · · , z m )‖ L n (E;F ) ≤ ‖f‖ L n+1 (E;F )‖z 1 ‖ · · · ‖z m ‖
d’où
‖Ψ(f)‖ L m (E;L n (E;F )) ≤ ‖f‖ L n+m (E;F ). (1.6)
Les applications Φ et Ψ sont donc linéaires continues. Il est clair qu’elles sont aussi réciproques
l’une de l’autre. On a alors pour tout f ∈ L n+m (E; F ), g ∈ L m (E; L n (E; F ))
‖f‖ L n+m (E;F ) = ‖(Φ ◦ Ψ)(f)‖ L n+m (E;F ) = ‖Φ(Ψ(f))‖ L n+m (E;F ) ≤ ‖Ψ(f)‖ L m (E;L n (E;F ))
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