LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

2.3 Applications à valeurs dans un produit d’espaces
Soient F 1 , · · · , F m des espaces normés et F = F 1 ×· · ·×F m leur produit cartésien. On définit,
pour tout i = 1, · · · , m
p i : F −→ F i par p i (x 1 , · · · , x m ) = x i
et
u i : F i −→ F par u i (y) = (0, · · · , y, · · · , 0),
où toutes les composantes sont nulles sauf celle de rang i qui est égale à y. On a p i ∈ L(F, F i ),
u i ∈ L(F i , F ) (le démontrer) et, p i ◦ u i = I Fi .
Théorème 2.3.1 Soit f : U −→ F = F 1 × · · · × F m une application définie sur un ouvert U d’un
espace normé E à valeurs dans un produit d’espaces normé. Alors les propriétés suivantes sont
équivalentes,
i) f est différentiable en a ∈ U,
ii) f 1 , · · · , f m sont différentiables en a où f = (f 1 , · · · , f m ).
De plus pour tout h ∈ E,
Df(a)(h) =
m∑
(u i ◦ Df i (a))(h) = (Df 1 (a)(h), · · · , Df m (a)(h)). (2.4)
i=1
Démonstration. Comme f est différentiable en a, l’application f i = p i ◦ f est aussi différentiable
en a pour tout i = 1, · · · m, d’après le Théorème 2.2.1.
Réciproquement, supposons que f 1 , · · · , f m sont différentiables en a. Alors, pour tout i =
1, · · · , m, u i ◦ f i est différentiable en a comme composée d’une application différentiable en
a et d’une application différentiable sur F i . Il en résulte que f qui est égal à ∑ m
i=1 u i ◦ f i est
différentiable en a et que, utilisant de nouveau le Théorème 2.2.1 pour tout h ∈ E
ce qui achève la démonstration.
Df(a)(h) =
=
m∑
i=1
m∑
i=1
(
)
Du i (f i (a)) ◦ Df i (a) (h)
( )
u i ◦ Df i (a) (h),
Corollaire 2.3.1 Soit U un ouvert de R n et soit f : U −→ R m . Alors f est différentiable en a ∈ U
si et seulement si f 1 , · · · , f m sont différentiables en a et on a, pour tout h ∈ R n ,
Df(a)(h) = J f (a)h, (2.5)
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