LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

donc lim n→∞ (b n − a n ) −1 r n = 0. On arrive donc à la contradiction
‖f ′ (c)‖ > g ′ (c).
On peut en fait démontrer le résultat plus général suivant
Théorème 3.1.2 Soient f : [a, b] −→ E, g : [a, b] −→ R des fonctions continues sur [a, b] et
dérivables à droite sur ]a, b[ sauf éventuellement sur une partie au plus dénombrable D de ]a, b[.
On suppose que, pour tout t ∈]a, b[\D,
‖f ′ d(t)‖ ≤ g ′ d(t).
Alors
‖f(b) − f(a)‖ ≤ g(b) − g(a).
Démonstration. Soit n ↦−→ ρ n une surjection de N sur D. Soit ε > 0, on va montrer que, pour
tout t ∈ [a, b]
‖f(t) − f(a)‖ ≤ g(t) − g(a) + ε(t − a + 2),
ce qui démontrera bien le résultat en faisant t = b et en faisant tendre ε vers 0. Posons
A = {a} ∪ {t ∈]a, b] : ψ(s) ≤ 0, ∀s ∈ [a, t[},
où
ψ(s) = ‖f(s) − f(a)‖ − (g(s) − g(a)) − ε(s − a) − ε ∑ ρ n