LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Théorème 3.5.5 Soit I = [a, b] un intervalle compact et soit f n : I −→ F une suite de fonctions
réglées à valeurs dans un espace de Banach F . On suppose que (f n ) converge uniformément vers
f dans I. Alors f est réglée dans I et
∫ b
lim
n→∞
a
f n (t)dt =
∫ b
a
f(t)dt.
Démonstration
La fonction f est réglée. En effet, d’après le Théorème 3.5.1 pour tout n ∈ N, il existe une
fonction ϕ n en escalier dans I telle que
‖ϕ n − f n ‖ ≤ 1/n.
La suite (ϕ n ) converge donc uniformément vers f dans I, ce qui montre, utilisant de nouveau le
Théorème 3.5.1 que f est réglée dans I. On a alors
∥
∫ b
a
d’où le résultat. □
f n (s)ds −
∫ b
a
f(s)ds∥ ≤
∫ b
a
‖f n (s) − f(s)‖ds ≤ (b − a)‖f n − f‖ ∞
Théorème 3.5.6 Soient F , G des espaces de Banach, soit I = [a, b] un intervalle compact, soit
f : I −→ F une fonction réglée et soit u ∈ L(F, G). Alors u ◦ f est réglée et
( ∫ b
u
a
)
f(t)dt) =
∫ b
a
u(f(t))dt.
Démonstration
Le fait que u ◦ f soit réglée découle de la continuité de u. Supposons que f est en escalier, il
en est alors de même de u ◦ f. On a alors
∫ b
a
( ∫ b
u
a
f(t)dt =
)
f(t)dt
=
=
∑n−1
c k (t k+1 − t k ),
k=0
n−1
∑
u(c k )(t k+1 − t k )
k=0
∫ b
a
u(f(t))dt.
Revenons au cas général. Il existe une suite (f n ) de fonctions en escalier qui converge uniformément
vers f sur I. Comme, pour tout n ∈ N et pour tout t ∈ I, on a
‖u(f n (t)) − u(f(t))‖ ≤ ‖u‖‖f n (t)) − (f(t)‖,
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