LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Proposition 3.2.1 Foit U ⊂ E un ouvert d’un espace normé E et soit f : U −→ F une application
différentiable que l’on suppose M-lipschitzienne sur U. Alors,
‖Df(x)‖ ≤ M pour tout x ∈ U.
Démonstration. Pour tout x ∈ U et u ∈ E, on sait que
f(x + tu) − f(x)
Df(x)(u) = lim
,
t→0 t
donc
∥ ∥∥ f(x + tu) − f(x)
∥
‖Df(x)(u)‖ = lim
∥.
t→0 t
Pour tout t assez petit, on a x + tu ∈ U de telle sorte que
‖f(x + tu) − f(x)‖ ≤ M|t|‖u‖,
d’où
∥ ∥∥ f(x + tu) − f(x)
‖Df(x)(u)‖ = lim
∥ ≤ M‖u‖,
t→0 t
ce qui montre bien que ‖Df(x)‖ ≤ M pour tout x ∈ U.
Le résultat suivant est important.
Corollaire 3.2.2 Soit U ⊂ E un ouvert connexe d’un espace normé, soit f : U −→ F une
application différentiable telle que Df(x) = 0 pour tout x ∈ U. Alors f est constante sur U.
Démonstration. Pour tout a ∈ U il existe un ouvert convexe, à savoir une boule ouverte B(a, r)
sur laquelle Df est nulle et donc sur laquelle f est constante (Corollaire 3.2.1). Considérons
a 0 ∈ U et posons b 0 = f(a 0 ) et U 0 = f −1 (b 0 ). L’ensemble U 0 est fermé car f est continue. Soit
a ∈ U 0 , il existe une boule ouverte B(a, r) telle que f(x) = f(a) = b 0 sur B(a, r). Il en résulte
que U 0 est ouvert dans U. Comme U 0 est aussi fermé dans U et que U est connexe, on a U = U 0
ce qui achève la démonstration.
Une application utile du Théorème des accroissements finis est de donner une condition suffisante
pour passer à la limite sur la différentielle d’une suite de fonctions différentiables.
Théorème 3.2.1 Soit U ⊂ E un ouvert connexe d’un espace normé et soit f p : U −→ F , p ∈ N
une suite d’applications différentiables à valeurs dans un espace de Banach F . On suppose que
i) il existe x 0 ∈ U tel que la suite (f p (x 0 )) converge ;
ii) il existe une fonction g : U −→ L(E, F ) telle que, pour tout a ∈ U il existe une boule
ouverte B(a) contenant a telle que la suite de fonctions (Df p ) converge uniformément sur B(a)
vers g, ce qui signifie
(
lim
p→∞
sup
y∈B(a)
‖Df p (y) − g(y)‖ L(E,F )
)
= 0.
Alors il existe une application différentiable f : U −→ F telle que pour tout a ∈ U, la suite
(f p ) converge uniformément vers f sur B(a) et l’on a Df = g sur U.
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