LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

existent pour tout i, j ∈ [1, n]. On remarque alors que
n∑
Df = T j ◦ D j f
où
est définie par
j=1
T j ∈ L(L(E j , F )), L(E 1 × · · · × E n , F ))
T j (A) = A ◦ π j
avec π j (x 1 , · · · , x n ) = x j . On a alors pour 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, et u, v ∈ E 1 × · · · × E n
n∑
D(Df)(a) = T j ◦ D(D j f)(a)
donc
d’où
D(Df)(a)(u) =
=
=
D 2 f(a)(u, v) =
j=1
n∑
j=1
)
T j
(D(D j f)(a)u)
n∑ ( n∑
)
T j D i (D j f)(a)u i
j=1
n∑
i=1
n∑
i=1
i=1
n∑
)
(D i D j f(a)u i ◦ π j
j=1
n∑
D i D j f(a)(u i , v j ).
Posons alors, pour ū ∈ E k , ¯v ∈ E l , u = (0, · · · , ū, · · · , 0), v = (0, · · · , ¯v, · · · , 0). On a alors
et
j=1
D 2 f(a)(u, v) = D k D l f(ū, ¯v)
D 2 f(a)(v, u) = D l D k f(¯v, ū).
Comme D 2 f(a)(u, v) = D 2 f(a)(v, u), on a bien D k D l f(ū, ¯v) = D l D k f(¯v, ū).
Comme cas particulier, on obtient que, pour tout 1 ≤ i ≤ n, D i D i f(a) ∈ L 2 (E i ; F ) est
symétrique.
Théorème 4.2.6 Soit f : U ⊂ E 1 × · · · × E n −→ F une application telle que les différentielles
partielles D i D j f existent et sont continues en un point a ∈ U. Alors f est deux fois différentiable
en a et, pour tout u, v ∈ E 1 × · · · × E n
n∑ n∑
D 2 f(a)(u, v) = D j D i f(a)(u j , v i ).
i=1
j=1
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