LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Intégrant entre a et t, on obtient
d’où le résultat.
∫ t
b) Posons ψ(s) = ∑ p
i=0
a
(t − s) p
f (p+1) (s) = f(t) −
p!
p∑
i=0
i
(t − s)
f (i) (s). D’après (4.9) on a
i!
ψ ′ (s) =
(t − s)p
f (p+1) (s).
p!
i
(t − a)
f (i) (a)
i!
Supposons t ≥ a, le cas t ≤ a se traîtant de manière analogue. Pour tout s ∈ I, on a
Il en résulte que, pour s ∈ [a, t]
‖ψ ′ (s)‖ ≤ M
|t − s|p
.
p!
avec g(s) = −M
‖ψ ′ (t − s)p
(s)‖ ≤ M
p!
= g ′ (s)
(t − s)p+1
. On applique alors le Théorème des accroissements finis et on obtient
(p + 1)!
d’où le résultat car ψ(t) = f(t) et ψ(a) = ∑ p
i=0
‖ψ(t) − ψ(a)‖ ≤ g(t) − g(a),
i
(t − a)
f (i) (a).
i!
Dans le cas d’applications entre espaces normés, on a les formules de Taylor suivantes
Théorème 4.3.2
a) FORMULE DE TAYLOR AVEC RESTE INTÉGRAL. Soit f : U −→ F une application p + 1
fois continuement différentiable définie sur un ouvert U d’un espace normé E à valeurs dans un
espace de Banach F . Alors pour tout x ∈ U et h ∈ E tels que le segment [x, x + h] soit contenu
dans U, on a
p∑
∫
1
1
f(x + h) =
i! Di f(x)h i (1 − s) p
+
D p+1 f(x + sh)h p+1 ds
0 p!
où h i = (h, · · · , h) ∈ E i .
i=0
b) FORMULE DE TAYLOR-LAGRANGE. Soit f : U −→ F une application p + 1 fois différentiable
définie sur un ouvert U d’un espace normé E à valeurs dans un espace de Banach F . On
suppose qu’il existe M ≥ 0 telle que ‖D p+1 f(z)‖ ≤ M pour tout z ∈ U. Alors pour tout x ∈ U
et h ∈ E tels que le segment [x, x + h] soit contenu dans U, on a
∥
∥f(x + h) −
p∑
i=0
1
i! Di f(x)h i ∥ ∥∥ ≤ M
‖h‖ p+1
(p + 1)! .
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