LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

pour tout w tel que ‖w‖ ≤ δ. Posons, pour tout ‖u‖ ≤ δ/2 et ‖v‖ ≤ δ/2,
G u (v) = f(a + u + v) − f(a + v) − f(a + u) + f(a) − (D(Df)(a)(u))(v).
On a DG u (v) = Df(a + u + v) − Df(a + v) − D(Df)(a)(u) donc
DG u (v) = Df(a+u+v)−Df(a)−D(Df)(a)(u+v)−(Df(a+v)−Df(a)−D(Df)(a)(v)).
On a donc
‖DG u (v)‖ L(E,F ) ≤ ε(‖u‖ + ‖v‖) + ε‖v‖ ≤ 2ε(‖u‖ + ‖v‖).
Utilisant le corollaire 3.2.1 avec C = ¯B(0, ‖v‖), il en résulte que, pour tout ‖u‖ ≤ δ/2 et ‖v‖ ≤
δ/2,
‖G u (v)‖ = ‖G u (v) − G u (0)‖ ≤ ‖v‖
On a alors
sup
‖w‖≤‖v‖
‖DG u (w)‖ L(E,F ) ≤
2‖v‖ε(‖u‖ + ‖v‖) ≤ 2ε(‖u‖ + ‖v‖) 2 .
f(a + u + v) − f(a + v) − f(a + u) + f(a) − (D(Df)(a)(u))(v) = o(‖u‖ + ‖v‖) 2
Soient alors u, v ∈ E, pour tout t assez petit, on a donc
d’où
f(a + tu + tv) − f(a + tv) − f(a + tu) + f(a) − t 2 (D(Df)(a)(u))(v) = o(t 2 ),
f(a + tu + tv) − f(a + tv) − f(a + tu) + f(a)
(D(Df)(a)(u))(v) = lim
.
t→0 t 2
Comme le membre de droite ne change pas quand on permute u et v, il en est de même du membre
de gauche donc (D(Df)(a)(u))(v) = (D(Df)(a)(v))(u), soit D 2 f(a)(u, v) = D 2 f(a)(v, u).
Les propriétés de symétrie de la différentielle seconde s’étendent aux différentiellles d’ordre p.
Théorème 4.2.2 Soit f : U −→ F une application p fois différentiable en a ∈ U. Alors, pour
tout (u 1 , · · · , u p ) ∈ E p et pour toute permutation σ de [1, · · · , p], on a
D p f(a)(u σ(1) , · · · , u σ(p) ) = D p f(a)(u 1 , · · · , u p ).
Démonstration. Il suffit de démontrer le résultat pour une transposition σ i,j
⎧
⎨ k si k ∉ {i, j}
σ i,j (k) = i si k = j,
⎩
j si k = i
car toute permutation de [1, p] est produit d’un nombre fini de telles transpositions. Procédons par
récurrence sur p. Pour p = 2 le résultat est démontré (Théorème 4.2.1). Supposons alors le résultat
vrai pour tout 2 ≤ k ≤ p − 1 avec p ≥ 3.
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