LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Comme r(.) est Lipschitzienne de rapport ε/2‖ψ‖ 2 sur B(a, α), et comme g(y), g(b) ∈ B(a, α),
il vient
‖r(g(y) − r(g(b))‖ ≤
On a donc pour tout y ∈ B(b, β)
ε ‖g(y) − g(b)‖ ≤
ε
2‖ψ‖
2
2‖ψ‖‖y − b‖ ≤
ε
2‖ψ‖
2
‖g(y) − g(b) − ψ(y − b)‖ ≤ ‖ψ‖ ε ‖y − b‖ = ε‖y − b‖,
‖ψ‖
‖y − b‖.
‖ψ‖
ce qui montre bien que g et donc f −1 est différentiable en b avec Df −1 (b) = (Df(a)) −1 .
On en déduit le
Théorème 5.1.2 THÉORÈME DU DIFFÉOMORPHISME LOCAL
Soit f : U −→ F une application de classe C r , r ≥ 1 définie sur un ouvert U d’un espace de
Banach E et à valeurs dans un espace de Banach F . Soit a ∈ U tel que Df(a) ∈ Isom (E, F ).
Alors, il existe des voisinages ouverts U ′ de a et V ′ de b = f(a) tels que f soit un C r difféomorphisme
de U ′ dans V ′ .
Démonstration. Comme Df(a) ∈ Isom (E, F ) qui est ouvert dans L(E, F ) et comme Df est
continue en a, on peut supposer en diminuant U au besoin, que Df(x) ∈ Isom (E, F ) pour tout
x ∈ U. Appliquant le Théorème 5.1.1, il existe des voisinages ouverts U ′ de a et V ′ de b = f(a)
tels que f soit un homéomorphisme de U ′ dans V ′ et tel que f −1 soit différentiable en b avec
Df −1 (b) = (Df(a)) −1 . On peut alors appliquer de nouveau le Théorème 5.1.1 pour tout x ∈ U ′ . Il
en résulte que, pour tout y ∈ V ′ l’application f −1 est différentiable en y et Df −1 (y) = (Df(x)) −1 .
L’application Df −1 est continue sur V ′ car
Df −1 = Φ ◦ Df ◦ f −1
où Φ : Isom (E, F ) −→ Isom (F, E) est définie par φ(u) = u −1 pour tout u ∈ Isom (E, F ).
Notons que f −1 , Df sont continues ainsi que Φ qui est de classe C ∞ (voir chapitre 4, Théorème
4.2.4). Il en résulte que f −1 est de classe C 1 sur V ′ . Supposons démontré que f −1 est de classe C s
sur V ′ pour s ∈ [1, r − 1]. On a f −1 de classe C s ainsi que Df et Φ. D’après le Théorème 4.2.3
du chapitre 2, on obtient donc que Df −1 est de classe C s sur V ′ d’où f −1 est de classe C s+1 . Le
théorème est alors complètement démontré.
Remarque 5.1.2 Si les hypothèses du théorème précédent sont vérifiées dans des espaces de dimension
finie E = R n et F = R p , on a nécessairement n = p et l’hypothèse Df(a) ∈ Isom (E, F )
se traduit par det(J f (a)) ≠ 0 où J f (a) est la matrice Jacobienne de f en a définie par
avec f = (f 1 , . . . , f n ).
J f (a) i,j = ∂f i
∂x j
(a)
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