LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

On a donc défini une application F y : ¯B(a, η) −→ ¯B(a, η). Pour tout x, z ∈ ¯B(a, η), on a
‖F y (x) − F y (z)‖ ≤ ‖ψ‖‖r(x) − r(z)‖ ≤ ‖ψ‖ 1
‖x − z‖
‖x − z‖ = .
2‖ψ‖ 2
D’après le Théorème des applications contractantes de Banach, il existe un unique x ∈ ¯B(a, η) tel
que f(x) = y noté x = g(y). Ceci montre l’existence d’une application g : ¯B(b, δ) −→ ¯B(a, η)
telle que f(g(y)) = y pout tout y ∈ ¯B(b, δ). Notons que g(b) = a car F b (a) = a et que, pour tout
y ∈ ¯B(b, δ), g(y) est l’unique x ∈ ¯B(a, η) tel que f(x) = y. Il en résulte que f est surjective de
¯B(a, η) dans ¯B(b, δ). Considérons y, y ′ ∈ B(b, δ), on a
‖g(y) − g(y ′ )‖ = ‖F y (g(y)) − F y ′(g(y ′ ))‖
≤
‖F y (g(y)) − F y (g(y ′ ))‖ + ‖F y (g(y ′ )) − F y ′(g(y ′ ))‖
≤
1 2 ‖(g(y) − (g(y′ )‖ + ‖ψ(y − y ′ )‖
ce qui entraine
‖g(y) − g(y ′ )‖ ≤ 2‖ψ‖‖y − y ′ ‖.
Il en résulte que g est Lipschitzienne donc continue sur ¯B(b, δ) et que
‖g(y) − a‖ = ‖g(y) − g(b)‖ < 2‖ψ‖δ = η
si ‖y − b‖ < δ d’où g(B(b, δ)) ⊂ B(a, η) en notant, comme d’habitude, B(x, r) la boule ouverte
de centre x et de rayon r. Posons alors V ′ = B(b, δ) et U ′ = g(B(b, δ)) ⊂ B(a, η). Pour tout
y ∈ B(b, δ), on a g(y) = f −1 (y) ∩ B(a, η), donc U ′ = f −1 (B(b, δ)) ∩ B(a, η), ce qui montre
que U ′ est ouvert. Remarquons que f(U ′ ) ⊂ V ′ et que f : U ′ −→ V ′ est surjective. Elle est
aussi injective car si x, x ′ ∈ U ′ vérifient f(x) = f(x ′ ) = y, on a x ∈ B(a, η) donc g(y) = x
et g(y) = x ′ d’où x = x ′ . On a donc montré que f : U ′ −→ V ′ est un homéomorphisme et que
f −1 = g est Lipschitzienne sur V ′ .
Il reste à prouver la différentiabilité de f −1 en b. Soit ε > 0 et 0 < α < η tel que ‖Dr(x)‖ ≤
ε
2‖ψ‖ 2
ε
sur B(a, α), de telle sorte que r(.) est -Lipschitzienne sur B(a, α). Posons β = α/2‖ψ‖.
2‖ψ‖ 2
Pour tout y ∈ B(b, β) on a
‖g(y) − a‖ = ‖g(y) − g(b)‖ ≤ 2‖ψ‖‖y − b‖ ≤ 2‖ψ‖β = α
donc g(B(b, β)) ⊂ B(a, α). Soit y ∈ B(b, β). On a
d’où
Il en résulte que
g(y) = F y (g(y)) = a + ψ(y − b − r(g(y))),
g(y) − g(b) − ψ(y − b) = −ψ(r(g(y))) = ψ(r(g(b))) − ψ(r(g(y))).
‖g(y) − g(b) − ψ(y − b)‖ ≤ ‖ψ‖‖r(g(y)) − r(g(b))‖.
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