LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Théorème 2.1.1 Soit f : I −→ E une fonction vectorielle définie sur un intervalle ouvert I de
R. Alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes
i) f est dérivable en t 0 ∈ I,
ii) f est différentiable en t 0 ∈ I.
De plus pour tout h ∈ R, on a
Df(t 0 )(h) = h df
dt (t 0),
df
dt (t 0) = Df(t 0 )(1).
Démonstration. On sait (voir chap. 1, Exemple 1.3.2) que L(R, E) s’identifie à E quand on
identifie ϕ ∈ L(R, E) avec le vecteur ϕ(1) et x ∈ E avec ϕ ∈ L(R, E) définie par ϕ(t) = tx.
Remarquons que
f(t) − f(t 0 )
lim
= x
t→t 0 t − t 0
équivaut à
avec lim
h→0
ε(h) = 0, ce qui démontre le théorème.
f(t) − f(t 0 ) − (t − t 0 )x = (t − t 0 )ε(t − t 0 )
Exemple 2.1.1
a) Soit (E, ‖.‖) un espace normé, alors la norme n’est pas différentiable en 0. Dans le cas
contraire, on aurait (remarque 2.1.1, d)) pour tout h ∈ E
D(‖.‖)(0)h = lim
t→0
‖th‖/t
ce qui est absurde car le rapport ‖th‖/t a une limite à droite égale à ‖h‖ et une limite à gauche
égale à −‖h‖ quand t tend vers 0.
b) Soient E, F des espaces normés et soit f ∈ L(E, F ). Il découle de l’égalité,
f(x) − f(a) − f(x − a) = 0 pour tout x, a ∈ E
que, pour tout a ∈ E, f est différentiable en a ∈ E et que sa différentielle en a est Df(a) = f.
c) Soit E, F , G des espaces normés, soit f ∈ L 2 (E, F ; G) une application bilinéaire continue
et soient a, x ∈ E, b, y ∈ F . On a
f(x, y) = f(a + (x − a), b + (y − b))
= f(a, b) + f(a, y − b) + f(x − a, b) + f(x − a, y − b).
Notons que l’application linéaire L : E × F −→ G définie par
L(u, v) = f(a, v) + f(u, b) pour tout (u, v) ∈ E × F
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