LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Théorème 4.2.3 Soit f : U −→ V et g : V −→ G deux applications telles que f(U) ⊂ V où U
et V sont des ouverts d’espaces normés E, F et G est un espace normé.
a) Si f est p fois différentiable en a ∈ U et si g est p fois différentiable en b = f(a) ∈ V , alors
g ◦ f est p fois différentiable en a.
b) Si f est de classe C p sur U et si g est de classe C p sur V , alors g ◦ f est de classe C p sur U.
Démonstration. a) Procédons par récurrence sur p. Pour p = 1 le résultat est vrai. Supposons le
résultat vrai à l’ordre p − 1. On a, dans un voisinage W de a
D(g ◦ f)(x) = Dg(f(x) ◦ Df(x) = Φ(A(x), B(x))
où A : U −→ L(F, G) et B : U −→ L(E, F ) sont définis par A(x) = (Dg ◦ f)(x), B(x) =
Df(x) et
Φ : L(F, G) × L(E, F ) −→ L(E, G)
est définie par Φ(A, B) = A ◦ B. Or Dg et f sont p − 1 fois différentiables en a (utiliser la
Proposition 4.2.1), donc il en est de même de A = Dg ◦ f, de B = Df (utiliser les Propriétés
4.2.1 et 4.2.2) et de (A, B) (Proposition 4.2.2). Par ailleurs Φ est bilinéaire et continue car
‖Φ(A, B)‖ ≤ ‖A‖‖B‖, elle est donc p−1 fois différentiable d’après la Proposition 4.1.2. L’hypothèse
de récurrence nous permet de conclure que D(g◦f) = Φ◦(A, B) est p−1 fois différentiable
en a donc g ◦ f est bien p fois différentiable en a (utiliser de nouveau les Propriétés 4.2.1 et 4.2.2).
b) Même méthode que dans a).
Théorème 4.2.4 Soient E et F des espaces de BANACH, alors l’application
u ↦−→ I(u) = u −1
de Isom(E, F ) dans Isom(F, E) est de classe C ∞ .
Démonstration. On sait que Isom(E, F ) est ouvert dans L(E, F ), que I est de classe C 1 (chapitre
2) et que pour tout h ∈ L(E, F ), on a DL(u)h = −u −1 ◦ h ◦ u −1 . Pour tout (v, w) ∈ L(F, E) ×
L(F, E), et pour tout h ∈ L(E, F ), posons
ψ(v, w)(h) = v ◦ h ◦ w.
L’application Ψ(v, w) est linéaire de L(E, F ) dans L(F, E), de plus
‖ψ(v, w)(h)‖ ≤ ‖v‖‖h‖‖w‖. (4.7)
On a donc Ψ(v, w) ∈ L(L(E, F ) × L(F, E)). L’application Ψ est alors bilinéaire de L(F, E) ×
L(F, E) dans L(L(E, F ) × L(F, E)), elle est de plus continue car
‖ψ(v, w)‖ L(L(E,F )×L(F,E)) ≤ ‖v‖‖w‖
d’après (4.7). Par ailleurs
DI(u) = Ψ(I(u), I(u)).
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