LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Démonstration. On a Df = ∑ n
i=1 T i ◦ D i f (voir la démonstration du Corollaire 4.2.3) et D i f
est différentiable en tout x ∈ U car les différentielles partielles D j D i f existent et sont continues
en a. Il résulte donc du Théorème 2.4.1 que Df est différentiable en a et donc que f est deux fois
différentiable en a. La formule donnant D 2 f(a) a été démontrée dans le Corollaire 4.2.3.
Remarque 4.2.1 Examinons le cas particulier E 1 = E 2 = · · · = E n = R, et F = R. Supposons
que f est deux fois différentiable en a. On a
∂f
∂x i
(x) = Df(x)(e i ) = ψ i (Df(x)),
où ψ i : L(R n , R) −→ R est l’application linéaire définie par ψ i (A) = A(e i ). On a donc ∂f =
∂x i
ψ i ◦ Df, ce qui montre que ∂f est différentiable en a, donc les dérivées partielles secondes
∂x i
∂ 2 f
(a) existent pour tout i, j ∈ [1, n]. Posant alors
∂x j ∂x i
g(x) = Df(x)(u) =
n∑
i=1
∂f
∂x i
(a)u i .
On a alors
D 2 f(a)(u, v) = Dg(a)(v) =
n∑
i=1
n∑
j=1
∂ 2 f
∂x j ∂x i
(a)u i v j = 〈H f (a), u〉,
où H f (a) est alors la matrice Hessienne de f en a définie par
Remarquons que
Remarquons aussi que
donc
(H f (a)) ij = ∂2 f
∂x j ∂x i
(a).
∂ 2 f
∂x j ∂x i
(a) = D 2 f(a)(e i , e j ) = D 2 f(a)(e j , e i ) =
∂ 2 f
D i D j f(a)(s, t) = st (a),
∂x j ∂x i
∂2 f
∂x i ∂x j
(a).
‖D i D j f(b) − D i D j f(a)‖ L 2 (R;R) = ∥
∂2 f
(b) −
∂2 f
∥
(a) ∥.
∂x j ∂x i ∂x j ∂x i
∂ 2 f
Il en résulte que si les dérivées partielles secondes existent et sont continues en a alors les
∂x j ∂x i
différentielles partielles secondes existent au voisinage de a et sont continues en a. Le Théorème
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