LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Remarque 1.1.1
et
a) Pour tout x, y ∈ X on déduit des inégalités
‖x‖ ≤ ‖x − y‖ + ‖y‖
‖y‖ ≤ ‖y − x‖ + ‖x‖
que l’on a, notant que ‖y − x‖ = ‖(−1)(x − y)‖ = ‖x − y‖,
|‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x − y‖.
La fonction x ↦→ ‖x‖ est alors Lipschitzienne de constante 1, ce qui implique en particulier qu’elle
est continue.
b) Les applications (λ, x) ↦−→ λx et (x, y) ↦−→ x + y sont continues respectivement de R × E
dans E et de E × E dans E. En effet si les suites (x n ), (y n ) et (λ n ) convergent respectivement
vers x ∈ E, y ∈ E et λ ∈ R, on a
‖(x n + y n ) − (x + y)‖ ≤ ‖x n − x‖ + ‖y n − y‖,
‖λ n x n − λx‖ = ‖(λ n − λ)x n + λ(x n − x)‖
≤
≤
|λ n − λ|‖x n ‖ + |λ|‖x n − x‖
|λ n − λ|M + |λ|‖x n − x‖
où M = sup‖x n ‖ < +∞ car une suite convergente est bornée. Il en résulte bien que x + y =
n∈N
lim (x n + y n ) et que λx = lim λ n x n .
n→∞ n→∞
c) Dans le cas où E = R n , on identifiera u ∈ R n à une matrice n × 1. Cela donne un sens
au produit matriciel AX ∈ R n d’une matrice A ∈ M(m, n) par un vecteur X ∈ R n . Avec ces
notations, le produit scalaire euclidien s’écrit, pour X, Y ∈ R n ,
〈X, Y 〉 = Y T X =
n∑
X i Y i ,
i=1
où Y T ∈ M(1, n) est la matrice uniligne transposée de Y ∈ M(n, 1). On prendra garde de
ne pas confondre le scalaire Y T X avec Y X T qui est la matrice carrée de taille n définie par
[Y X T ] ij = Y i X j .
Étant donnée une famille finie d’espaces normés E 1 , · · · , E d dont les normes sont indifféremment
dénotées par ‖·‖, on utilisera sur le produit cartésien E = E 1 ×· · ·×E d les normes suivantes
(démontrer en exercice que ce sont bien des normes).
Définition 1.1.2 On pose
‖(x 1 , · · · , x d )‖ 1 =
4
d∑
‖x i ‖,
i=1