LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Chapitre 1
Généralités sur les espaces normés
1.1 Espaces vectoriels normés
Le cadre naturel pour l’étude du calcul différentiel est celui des espaces vectoriels normés de
dimension finie ou non. Commençons donc par rappeler les notions de base qui nous seront utiles
dans la suite.
Définition 1.1.1 Étant donné un espace vectoriel réel E, une norme est une fonction
vérifiant
i) ‖x‖ = 0 si et seulement si x = 0 ;
‖ · ‖ : E → R + ,
ii) ‖λx‖ = |λ|‖x‖, pour tout λ ∈ R et x ∈ E ;
iii) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖, pour tout x, y ∈ E.
À toute norme est associée une distance d(x, y) = ‖x − y‖. Un espace normé est un espace
métrique et donc un espace topologique. Une partie U ⊂ E est ouverte si, pour tout a ∈ U, il
existe r > 0 tel que ¯B(a, r) ⊂ U où ¯B(a, r) = {x ∈ E : ‖x − a‖ ≤ r}. Les boules ouvertes
B(a, r) = {x ∈ E : ‖x − a‖ < r} sont des ouverts et tout ouvert est réunion d’une famille
de boules ouvertes. Une partie F de E est fermée si son complémentaire est ouvert (les boules
fermées sont des fermés). Une suite (x n ) d’éléments de E est dite converger vers x ∈ E si la suite
réelle (‖x n − x‖) converge vers 0. On écrit alors x = lim x n ou x n → x. La limite, quand elle
n→∞
existe, est unique ; elle est caractérisée par la propriété :
pour tout ε > 0, il existe n 0 ∈ N tel que, pour tout n ≥ n 0 , ‖x n − x‖ ≤ ε.
Les ensembles fermés F sont alors caractérisés par le fait que tout x ∈ E tel que pour tout r > 0,
F ∩ B(x, r) ≠ ∅ appartient à F , ce qui équivaut à dire qu’ils contiennent toute limite d’une suite
à valeurs dans F (le démontrer en exercice).
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