LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Démonstration. Comme Isom (F, G) est ouvert dans L(F, G) et comme D 2 f est continue, on a
(D 2 f) −1 (Isom (F, G)) est un ouvert qui contient (a, b). On peut alors supposer que D 2 f(x, y) ∈
Isom (F, G) pour tout (x, y) ∈ U. Définissons
par
h : U −→ E × G
h(x, y) = (x, f(x, y)).
pour tout (x, y) ∈ U. L’application h est de classe C r car h = (h 1 , h 2 ) avec h 1 et h 2 de classe C r .
On a donc, pour tout (u, v) ∈ E × F
Dh(x, y)(u, v) = (u, D 1 f(x, y)u + D 2 f(x, y)v).
On observe que L = Dh(a, b) est bijective. En effet si (u, v) ∈ ker L, alors u = 0 et D 2 f(a, b)v =
0 d’où v = 0. De plus, si on considère (u, w) ∈ E × G, on a L(u, v) = (u, w) où l’on a posé
v = (D 2 f(a, b)) −1 (w − D 1 f(a, b)u). Observons que l’on a montré que
(Dh(a, b)) −1 = (π E , D 2 f(a, b) ◦ (π G − D 1 f(a, b) ◦ π E )),
ce qui implique que Dh(a, b) est un isomorphisme. On peut donc appliquer le Théorème 5.1.2 qui
garantit l’existence d’un voisinage V ′ de (a, b) tel que h soit un C r difféomorphisme de V ′ dans
l’ouvert W ′ = h(V ′ ) qui est un voisinage de h(a, b) = (a, 0). Il existe alors un voisinage ouvert
A de a et un voisinage ouvert B de 0 dans G tels que A × B ⊂ W ’. Posons W = A × B et
V = h −1 (W ). Il est clair que h est un C r difféomorphisme de V dans W . Pour tout x ∈ A, posons
ϕ(x) = (π F ◦ h −1 )(x, 0).
L’application ϕ est de classe C r comme composée de trois applications de ce type. Pour tout
x ∈ A, on a h −1 (x, 0) = (x, ϕ(x)) donc (x, 0) = h(x, ϕ(x)) = (x, f(x, ϕ(x))) ce qui montre que
f(x, ϕ(x)) = 0. De plus, si (x, y) ∈ V vérifie f(x, y) = 0 on a h(x, y) = (x, 0) = h(x, ϕ(x)) et
(x, ϕ(x)) ∈ V ce qui implique y = ϕ(x) car h est injective sur V . Il reste alors à calculer Dϕ. On
remarque pour ceci que pour tout x ∈ A on a f(x, ϕ(x)) = 0. Remarquons alors que f ◦ Φ = 0
où Φ : A −→ V est définie par Φ(x) = (x, ϕ(x)). Il en résulte que, pour tout x ∈ A et pour tout
u ∈ E, on a D(f ◦ Φ)(x)(u) = 0, d’où D 1 f(x, ϕ(x))(u) + D 2 (f, ϕ(x))(Dϕ(x)(u)) = 0. Il en
résulte bien que
Dϕ(x)(u) = −((D 2 f(x, ϕ(x))) −1 ◦ D 1 f(x, ϕ(x)))(u).
Remarque 5.2.1 On vient de démontrer le Théorème des fonctions implicites à l’aide du Théorème
du difféomorphisme local. On peut également faire l’inverse. En effet, étant donné f :
U −→ F une application de classe C r , r ≥ 1 définie sur un ouvert U d’un espace de Banach
E et à valeurs dans un espace de Banach F et a ∈ U tel que Df(a) ∈ Isom (E, F ), on définit
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