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Chapitre 2 Applications différentiables dans les espaces normés 2.1 Définition d’une application différentiable Dans toute la suite, E et F sont des espaces normés, U est un ouvert de E, f est une application de U dans F et a est un élément de U. Définition 2.1.1 On dit que l’application f : U −→ F est différentiable au point a ∈ U s’il existe ϕ ∈ L(E, F ) telle que pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que pour tout x ∈ B(a, η) On note alors Df(a) = ϕ. ‖f(x) − f(a) − ϕ(x − a)‖ ≤ ε‖x − a‖. Remarque 2.1.1 a) Pour simplifier l’écriture, on écrira souvent, h étant un vecteur de E, Df(a)h au lieu de Df(a)(h). b) La définition s’écrit de façon équivalente, posant R(x) = f(x) − f(a) − ϕ(x − a), où lim x→a R(x) ‖x−a‖ = 0. Cela s’écrit aussi f(x) = f(a) + ϕ(x − a) + R(x), f(x) = f(a) + ϕ(x − a) + ‖x − a‖ε(x), où Cela équivaut bien sûr à où lim ε(x) = 0. x→a f(a + h) = f(a) + ϕ(h) + ‖h‖δ(h) lim δ(h) = 0. h→0 29
On note parfois o(‖h‖) une fonction α(h) définie au voisinage de 0 et à valeurs dans un espace vectoriel normé telle que lim h→0 ‖h‖ −1 α(h) = 0. La différentibilité en a s’écrit alors f(a + h) = f(a) + ϕ(h) + o(‖h‖). c) Si f est différentiable en a, alors f est continue en a. En effet f(x) − f(a) = ϕ(x − a) + R(x), d’où utilisant la continuité en a de ϕ et le fait que lim x→a R(x) = 0, lim(f(x) − f(a)) = 0. x→a d) Si f est différentiable en a, alors pour tout h ∈ E, f(a + th) − f(a) Df(a)(h) = lim . (2.1) t→0 t En effet, f(a + th) − f(a) = tDf(a)(h) + ‖th‖ε(th). Il en résulte que f(a + th) − f(a) t = Df(a)(h) + ‖h‖ε(th), d’où le résultat. On remarque que cette propriété montre que la différentielle Df(a), quand elle existe, est unique. e) On note également que l’application f est différentiable en a si et seulement si il existe ϕ ∈ L(E, F ) telle que (f(x) − f(a) − ϕ(x − a)) lim = 0, x ≠→a ‖x − a‖ où x ≠→ a signifie x tend vers a et x ≠ a. f) Si f est différentiable en a et si une application g coincide avec f sur un voisinage de a, alors g est différentiable en a et Dg(a) = Df(a) (immédiat en utilisant (2.1)). g) La différentiabilité de f ne change pas quand on remplace les normes de E et F par des normes équivalentes (exercice facile). h) Si f : U −→ F est constante alors Df(x) = 0 pour tout x ∈ U, c’est immédiat. Définition 2.1.2 Soit f : I −→ E une fonction vectorielle définie sur un intervalle ouvert I de R. On dit que f est dérivable en t 0 ∈ I si la limite existe. On pose alors f(t) − f(t 0 ) lim t→t 0 t − t 0 f ′ (t 0 ) = df dt (t 0) = lim t→t0 f(t) − f(t 0 ) t − t 0 . 30
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Démonstration. a) Remarquons qu’
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Alors il existe λ ≤ 0 tel que
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Considérons f : (E, δ) −→ (E,
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Comme r(.) est Lipschitzienne de ra
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Démonstration. Comme Isom (F, G) e
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avec Dϕ(0) = −(D 2 h(0, 0)) −1
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De plus, si f(a) = 0, on a g(U ′
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De plus, p étant injective est une
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à diminuer η que ϕ(] − η, +η
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