LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Remarque 2.4.1 Dans le cas où m = 1 on peut aussi écrire
où
∇f(a) =
Df(a)(h) = 〈∇f(a), h〉
( ∂f
(a), · · · , ∂f )
(a) .
∂x 1 ∂x n
Corollaire 2.4.3 Soient E 1 , · · · , E n , F des espaces normés et soit
f ∈ L n (E 1 , · · · , E n ; F )
une application multilinéaire continue. Alors f est de classe C 1 sur E 1 × · · · × E n et pour tout
x, h ∈ E 1 × · · · × E n
Df(a)(h) = f(h 1 , x 2 , · · · , x n ) + · · · + f(x 1 , · · · , x n−1 , h n ).
Démonstration. Soit a ∈ E 1 × · · · × E n et i ∈ [1, n]. L’application partielle
ϕ i (z) = f(a 1 , · · · , z, · · · , a n ),
est alors linéaire et continue de E i dans F . Elle est donc différentiable d’après l’Exemple 2.1.1,
b) et
D i f(a) = ϕ i .
Montrons alors que, pour tout 1 ≤ i ≤ n, l’application D i f est continue sur E 1 × · · · × E n ce
qui démontrera le résultat grâce au Corollaire 2.4.1. Il suffit de faire la démonstration pour i = 1.
Pour tout x ∈ E 1 × · · · × E n on a
où
est définie pour tout z ∈ E 2 × · · · × E n par
D 1 f(x) = Ψ(x 2 , · · · , x n )
Ψ : E 2 × · · · × E n −→ L(E 1 , F )
Ψ(z) = f(., z 2 , · · · , z n ).
Remarquons que Ψ est multilinéaire et que pour tout u ∈ E 1
Il en résulte que
‖ψ(z)(u)‖ ≤ ‖f‖‖z 2 ‖ · · · ‖z n ‖‖u‖.
‖ψ(z)‖ L(E1 ,F ) ≤ ‖f‖‖z 2 ‖ · · · ‖z n ‖,
donc d’après le Théorème 1.5.1 du Chapitre 1, Ψ est continue sur E 2 × · · · × E n ce qui implique
que D 1 f est continue sur E 1 × · · · × E n .
On a aussi le
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