LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Quand Y = R, on notera simplement C b (X, R) = C b (X). C’est un exercice facile de montrer que
(C b (X, Y ), ‖·‖ ∞ ) est un espace de Banach quand c’est le cas pour (Y, ‖·‖). Dans le cas particulier
où X = N et Y = R, on retrouve l’exemple c) en remarquant que C b (N) = l ∞ car toute fonction
définie sur N est continue !
e) L’ensemble C 1 ([0, 1]) des fonctions continuement dérivables sur [0, 1] est un espace de Banach
muni de la norme
‖f‖ C 1 = ‖f‖ ∞ + ‖f ′ ‖ ∞
est un espace de Banach (le démontrer en exercice). Plus généralement il en est de même de
l’ensemble C m ([0, 1]) des fonctions m fois continuement dérivables sur [0, 1] avec m ∈ N ∗ muni
de la norme
‖f‖ C m = ‖f‖ ∞ + ‖f ′ ‖ ∞ + · · · + ‖f (m) ‖ ∞ .
f) L’espace C([0, 1]) des fonctions continues sur [0,1] à valeurs réelles muni de la norme
‖f‖ 1 =
n’est pas un espace de Banach (le démontrer).
∫ 1
0
|f(t)| dt
Définition 1.2.2 Soit (E, ‖ · ‖) un espace normé et (x n ) une suite dans E. On pose, pour tout
n ∈ N, S n = ∑ n
i=0 x i. On dit que la série de terme général (x n ) converge s’il en est de même de
la suite (S n ) et on pose
∞∑
x i = lim S n .
n→∞
i=0
On dit que la série de terme général (x n ) est normalement convergente si la série de terme général
(‖x n ‖) est convergente.
Théorème 1.2.1 Dans un espace de Banach (E, ‖ · ‖), toute série normalement convergente est
convergente et
∞∑ ∥ ∥∥ ∑ ∞
∥ x n ≤ ‖x n ‖.
Démonstration. Soit n > m, on a
n=0
n=0
‖S n − S m ‖ = ‖x m+1 + · · · + x n ‖ ≤ T n − T m ,
où T n = ∑ n
i=0 ‖x i‖. La suite (T n ) étant convergente est de Cauchy. Il en est donc de même de
(S n ) qui est donc convergente. Par ailleurs passant à la limite quand n → +∞ dans l’inégalité
‖S n ‖ ≤ T n on obtient que ‖S‖ ≤ ‖T ‖, d’où le résultat.
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