LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

) Soit (E, 〈., .〉) un espace préhilbertien et soit a ∈ E. Définissons L a : E −→ R par
L a (x) = 〈a, x〉
pour tout x ∈ E. Utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a
|L a (x)| ≤ ‖a‖‖x‖
ce qui montre que l’application linéaire L a est continue et que ‖L a ‖ ≤ ‖a‖. De plus |L a (a)| =
‖a‖ 2 donc ‖L a ‖ ≥ ‖a‖ ce qui montre que ‖L a ‖ = ‖a‖.
Définition 1.6.2 Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien (H, 〈., .〉) qui est complet pour
la norme définie dans la Proposition 1.6.1.
Exemple 1.6.2
a) L’espace Euclidien R d muni du produit scalaire usuel (exemple 1.6.1, a)) est un espace de
Hilbert.
b) Soit l 2 défini dans l’exemple 1.2.1, c) muni du produit scalaire
〈x, y〉 =
∞∑
x n y n .
(exemple 1.6.1, b)). Alors l 2 est un espace de Hilbert pour ce produit scalaire.
n=1
c) L’espace E = C([0, 1]) muni du produit scalaire
n’est pas un espace de Hilbert.
〈f, g〉 =
∫ 1
0
f(t)g(t) dt.
Définition 1.6.3 Soit (E, d) un espace métrique, a ∈ E et soit B une partie non vide de E. La
distance de a à la partie B est
d(a, B) = inf{d(a, b) : b ∈ B}.
On dit que b ∈ B est une projection de a sur B si
d(a, b) = d(a, B).
En général la projection n’existe pas et, s’il en existe, il peut en exister plusieurs.
Définition 1.6.4 Une partie C d’un espace vectoriel E est dite convexe si, pour tout x, y ∈ C et
pour tout λ ∈ [0, 1]
λx + (1 − λ)y ∈ C.
Dans le cas d’un espace préhilbertien il y a existence et unicité de la projection sur une partie
convexe complète comme le montre le résultat fondamental suivant.
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