LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Exemple 1.3.2 Soit E un espace normé. Pour tout h ∈ E on définit l’application
ϕ h :
R −→ E
t ↦−→ th
On a ϕ h ∈ L(R, E) et l’application ϕ qui à h associe ϕ h est un isomorphisme et une isométrie de
E dans L(R, E). En effet
‖ϕ h ‖ = max(‖ϕ h (1)‖, ‖ϕ h (−1)‖) = ‖ϕ h (1)‖ = ‖h‖.
L’isométrie réciproque ψ : L(R, E) → E est définie par
ψ(f) = f(1) pour tout f ∈ L(R, E).
Dans la suite, on identifiera L(R, E) et E par cette isométrie.
Le résultat suivant a d’importantes applications.
Théorème 1.3.4 Soient E, F des espaces de Banach, alors Isom (E, F ) est ouvert (éventuellement
vide) dans L(E, F ) et l’application u ↦−→ u −1 est continue sur Isom (E, F ).
Démonstration. Soit v ∈ L(E) tel que ‖v‖ < 1. La série de terme général (v n ) est alors normalement
convergente car ‖v n ‖ ≤ ‖v‖ n . Posons S n = ∑ n
k=0 vk , on a
v ◦ S n = S n ◦ v = S n+1 − I
où I désigne l’application identique de E dans E. Il résulte alors de la continuité des applications
u ↦−→ u ◦ v et u ↦−→ v ◦ u (voir Exemple (1.3.1), c)) que S = ∑ ∞
k=0 vk vérifie
(I − v) ◦ S = S ◦ (I − v) = I,
donc que I − v est bijective, c’est donc un isomorphisme d’après le Théorème 1.3.3. Soit alors
u ∈ Isom (E, F ) et v ∈ L(E, F ). On a,
v ∈ Isom(E, F ) → u −1 ◦ v ∈ Isom(E).
Or u −1 ◦ v = I − w avec w = I − (u −1 ◦ v) = u −1 ◦ (u − v). On a,
‖w‖ = ‖u −1 ◦ (u − v)‖ ≤ ‖u −1 ‖‖(u − v)‖.
donc B(u, 1/‖u −1 ‖) ⊂ Isom (E, F ). Par ailleurs on a
d’où
On obtient alors
‖v −1 − u −1 ‖ ≤
v −1 = (u ◦ (I − w)) −1 = (I − w) −1 ◦ u −1 ,
v −1 − u −1 = ((I − w) −1 − I) ◦ u −1 =
∥
∞∑ ∥
w k ∥∥‖u −1 ‖ ≤
k=1
∞∑
w k ◦ u −1 .
k=1
∞∑
‖w k ‖‖u −1 ‖ ≤
k=1
Comme w tend vers 0 quand v tend vers u on a bien le résultat.
‖w‖
1 − ‖w‖ ‖u‖−1 .
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