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Table des matières 1 Généralités sur les espaces normés 3 1.1 Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Normes équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Applications multilinéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Applications différentiables dans les espaces normés 29 2.1 Définition d’une application différentiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Opérations sur les applications différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Applications à valeurs dans un produit d’espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Applications définies sur un produit d’espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 Théorème des Accroissements Finis et Applications 47 3.1 Théorème des Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Applications du Théorème des Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3 Applications Strictement Différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Opérateurs de Nemicki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5 Primitives et Intégrales des Fonctions Réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4 Différentielles d’Ordre Supérieur 67 4.1 Définition des Différentielles d’Ordre Supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2 Propriétés de Symétrie des Différentielles d’Ordre Supérieur . . . . . . . . . . . 71 4.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.4 Conditions d’Optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5 Théorèmes d’Inversion et Applications 89 5.1 Théorèmes d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.2 Théorème des Fonctions Implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.3 Application : Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.4 Introductions aux sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.4.1 Immersion et submersion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.4.2 Définitions équivalentes des sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 1
5.4.3 Sous-espace tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2
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Corollaire 3.1.1 Soit f : [a, b]
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3.3 Applications Strictement Diffé
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(M est fini comme borne supérieure
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Démonstration. a) Remarquons qu’
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Comme r(.) est Lipschitzienne de ra
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Démonstration. Comme Isom (F, G) e
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avec Dϕ(0) = −(D 2 h(0, 0)) −1
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De plus, si f(a) = 0, on a g(U ′
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De plus, p étant injective est une
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à diminuer η que ϕ(] − η, +η
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