LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Si {i, j} = {1, 2}. Soient (u 3 , · · · , u p ) ∈ E p−2 et soit g(x) = D p−2 f(x)(u 3 , · · · , u p ). L’application
g définie au voisinage de a est 2 fois différentiable au voisinage de a grâce à la Proposition
4.1.3 car g = e ◦ D p−2 f avec e : L p−2 (E; F ) −→ F linéaire continue définie par
e(A) = A(u 3 , · · · , u p ). D’après la Proposition 4.1.4, on a pour tout u 2 ∈ E,
et, appliquant de nouveau la Proposition 4.1.4,
Dg(x)(u 2 ) = D p−1 f(x)(u 2 , · · · , u p ),
D 2 g(a)(u 2 , u 1 ) = D p f(a)(u 1 , u 2 , · · · , u p ).
D’après le Theorème 4.2.1, on obtient donc que D 2 g(a)(u 2 , u 1 ) = D 2 g(a)(u 1 , u 2 ), soit
D p f(a)(u 1 , u 2 , · · · , u p ) = D p f(a)(u 2 , u 1 , · · · , u p ). (4.5)
Si i, j ∈ {3, · · · , n}, on utilise de nouveau l’application
Par hypothèse de récurrence, on a
où σ = σ i,j . On obtient bien alors
g(x) = D p−2 f(x)(u 3 , · · · , u p ).
g(x) = D p−2 f(x)(u σ(3) , · · · , u σ(p) ),
D p f(a)(u 1 , u 2 , u 3 , · · · , u p ) = D p f(a)(u σ(1) , u σ(2) , u σ(3) , · · · , u σ(p) ).
Si i = 1, j ∈ {3, · · · , n}, on pose g(x) = D p−1 f(x)(u 2 , · · · , u j , · · · , u p ) et on a g(x) =
D p−1 f(x)(u j , u 2 , · · · , u p ) par hypothèse de récurrence. On calcule alors Dg(a)(u 1 ) à l’aide des
deux expressions de g et on obtient que l’on peut échanger j et 2. Ensuite on échange j et 1 comme
dans (4.5) puis 1 et 2. Enfin si i = 2, j ∈ {3, · · · , n}, on peut échanger 1 et 2 comme dans (4.5) et
on est ramené au cas précédent.
La proposition suivante est importante. Si sa conclusion coule de source, il n’en est pas de même
de sa démonstration.
Proposition 4.2.1 Soient p, q ∈ N ∗ des entiers et soit f : U −→ F une application q + p fois
différentiable en a ∈ U. Alors D p f est q fois différentiable en a, et pour tout (u 1 , · · · , u q ) ∈ E q et
(v 1 , · · · , v p ) ∈ E p , on a
(D q (D p f)(a)(u 1 , · · · , u q ))(v 1 , · · · , v p ) = D q+p f(a)(u 1 , · · · , u q , v 1 , · · · , v p ).
Démonstration. Par récurrence sur q. Pour q = 1, c’est la définition de D p+1 f. Supposons la
propriété vraie à l’ordre q et considérons f supposée q + 1 + p fois différentiable en a. Comme f
est q + p fois différentiable au voisinage de a, l’ hypothèse de récurrence nous dit que
(D q (D p f)(x)(u 1 , · · · , u q ))(v 1 , · · · , v p ) = D q+p f(x)(u 1 , · · · , u q , v 1 , · · · , v p ),
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