LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Démonstration. a) On a ϕ = (e ◦ g)(a + tu) avec e(A) = A(v) pour A ∈ L p−1 (E; F ) est linéaire
et continue et g(x) = D p−1 f(x) donc g est différentiable an a et
Dg(a)(u) = D p f(a)(u, ·).
On obtient donc que e ◦ g est différentiable en a, donc ϕ est dérivable en 0 et
ϕ ′ (0) = D(e ◦ g)(a)(u) = e(Dg(a)(u)) = D p f(a)(u, v).
b) Remarquons que ψ est définie dans un intervalle ouvert contenant t. Pour p = 1, ψ est
dérivable en t car f est différentiable en a + tu et t ↦−→ a + tu est dérivable sur R, et, d’après la
règle de la différentielle d’une composée, on a
ψ ′ (t) = Df(a + tu)(u).
Supposons le résultat vrai pour p et considérons f supposée p + 1 fois différentiable en a + tu. Il
en résulte que f est p fois différentiable dans un voisinage de a + tu. Par hypothèse de récurrence,
on obtient donc que la fonction ψ est p fois dérivable au voisinage de t et que
ψ (p) (s) = D p f(a + su)(u, · · · , u),
pour tout s voisin de t. Posant g(x) = D p f(x)(u, · · · , u), on a donc
ψ (p) (s) = g(a + su),
et g est différentiable en a + tu d’après la Proposition 4.1.4. On obtient alors, utilisant de nouveau
la Proposition 4.1.4, que
ce qui donne le résultat au rang p + 1.
ψ (p+1) (t) = Dg(a + su)(u) = D p+1 f(a + tu)(u, · · · , u).
4.2 Propriétés de Symétrie des Différentielles d’Ordre Supérieur
Le résultat suivant (Théorème de SCHWARZ) est fondamental.
Théorème 4.2.1 Soit f : U −→ F une application deux fois différentiable en a ∈ U. Alors pour
tout u, v ∈ E
D 2 f(a)(u, v) = D 2 f(a)(v, u).
Démonstration. Soit ε > 0, utilisant la définition de la différentiabilité de Df en a, il existe δ > 0
tel que
‖Df(a + w) − Df(a) − D(Df)(a)(w)‖ L(E,F ) ≤ ε‖w‖,
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