LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Définition 1.6.5 Soit (E, 〈., .〉) un espace préhilbertien et soient x, y ∈ E. On dit que x est
orthogonal à y et on note x ⊥ y si 〈x, y〉 = 0. Étant donné F ⊂ E, on note
Remarque 1.6.2 Remarquons que
F ⊥ = {y ∈ E : 〈x, y〉 = 0, pour tout x ∈ F }.
F ⊥ = ∩ x∈F Ker 〈x, .〉
et que 〈x, .〉 est linéaire continue (voir Remarque (1.6.1), b)). On obtient alors que F ⊥ est fermé
comme intersection de fermés.
Dans le cas où C est un sous-espace vectoriel le Théorème 1.6.2 prend la forme suivante
Théorème 1.6.3 PROJECTION SUR UN SOUS-ESPACE VECTORIEL COMPLET
Soit F un sous-espace vectoriel complet d’un espace préhilbertien (E, 〈., .〉). Alors
et
E = F ⊕ F ⊥
p F ∈ L(E).
Pour tout x ∈ E, p F (x) est l’unique vecteur de F tel que
〈x − p F (x), y〉 = 0 pour tout y ∈ F.
De plus,
pour tout x ∈ E.
‖p F (x)‖ ≤ ‖x‖
Démonstration. D’après le Théorème 1.6.2 p F (x) est l’unique vecteur de F tel que
〈x − p F (x), y − p F (x)〉 ≤ 0 pour tout y ∈ F.
Pour tout z ∈ F on a p F (x) + z ∈ F d’où
〈x − p F (x), z〉 ≤ 0 pour tout z ∈ F
ce qui implique, changeant z en −z que
〈x − p F (x), z〉 = 0 pour tout z ∈ F
donc x − p F (x) ∈ F ⊥ . Tout vecteur x ∈ E s’écrit alors
x = p F (x) + x − p F (x)
où
p F (x) ∈ F et x − p F (x) ∈ F ⊥ .
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