LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

d’où
∇f(a) =
m∑
λ i ∇g i (a).
i=1
Remarque 5.3.2 La condition nécessaire donnée dans le Théorème 5.3.1 permet parfois de déterminer
l’extremum.
5.4 Introductions aux sous-variétés
5.4.1 Immersion et submersion locale
Pour m ≤ n on notera π l’application linéaire surjective π : R n −→ R m définie pour tout x ∈ R n
par π(x 1 , · · · , x n ) = (x n−m+1 , · · · , x n ), et pour n ≤ m, on notera par j : R n −→ R m l’application
linéaire injective définie pour tout x ∈ R m par
j(x 1 , · · · , x n ) = (x 1 , · · · , x n , 0, · · · , 0).
Théorème 5.4.1 IMMERSION. Soit U ⊂ R n un ouvert, soit g : U −→ R m une application de
classe C r et soit a ∈ U tel que Dg(a) soit injective. Alors il existe des ouvert U ⊃ U ′ ∋ a,
R m ⊃ V ∋ g(a) tels que g(U ′ ) ⊂ V et un C r -difféomorphisme f de V sur un ouvert f(V ) de R m
tel que
f(g(x)) = j(x) = (x 1 , · · · , x n , 0, · · · , 0) pour tout x ∈ U ′ ,
de plus, on a
f(V ) ∩ (R n × {0}) = f(g(U ′ )).
Démonstration. Notons que n ≤ m car Dg(a) est injective et considérons un sous-espace vectoriel
F de R m tel que R m = Dg(a)(R n ) ⊕ F de sorte que la dimension de F est m − n. Soit ψ un
isomorphisme de R m−n dans F et soit h : U × R m−n −→ R m définie par h(x, y) = g(x) + ψ(y).
L’application h est de classe C r et Dh(x, y)(u, v) = Dg(x)(u)+ψ(v) ce qui montre que Dh(a, 0)
est surjective, donc bijective car Dh(a, 0) ∈ L(R m , R m ). Il existe donc des ouverts R n ⊃ U ′ ∋ a
et R m−n ⊃ W ′ ∋ 0 tels que h soit un C r difféomorphisme de U ′ × W ′ dans un ouvert V ∋ g(a)
de R m . Posant f = h −1 , on a g(U ′ ) ⊂ h(U ′ × W ′ ) = V , et, pour tout x ∈ U ′ , f(g(x)) =
f(h(x, 0)) = (x, 0) = j(x). On a donc montré que f(g(U ′ )) ⊂ f(V ) ∩ (R n × {0}). Réciproquement,
étant donné z = (z 1 , · · · , z n , 0) ∈ f(V ) ∩ (R n × {0}), on a donc x = (z 1 , · · · , z n ) ∈ U ′
donc f(g(x)) = z donc z ∈ f(g(U ′ )).
Théorème 5.4.2 SUBMERSION. Soit U ⊂ R n un ouvert, soit f : U −→ R m une application de
classe C r et soit a ∈ U tel que Df(a) soit surjective. Alors il existe un ouvert U ⊃ U ′ ∋ a et un
C r -difféomorphisme g de U ′ sur un ouvert g(U ′ ) de R n tel que
π(g(x)) = f(x) pour tout x ∈ U ′ .
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