LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Chapitre 5
Théorèmes d’Inversion et Applications
Nous illustrons dans ce chapitre le principe qu’une application différentiable se comporte localement
comme sa différentielle.
5.1 Théorèmes d’inversion
Commençons par donner quelques définitions
Définition 5.1.1
a) Une application f : E −→ F où E et F sont des espaces topologiques est un homéomorphisme
si
– f est bijective
– f et f −1 sont continues.
Autrement dit f est donc un homéomorphisme si et seulement
– f est bijective,
– f(U) est ouvert dans F pour tout ouvert U de E,
– f −1 (V ) est ouvert dans E pour tout ouvert V de F.
b) Soient U ⊂ E et, V ⊂ F des ouverts d’espaces de Banach E et F . On dit qu’une application
f : U −→ V est un difféomorphisme si
– f est bijective,
– f et f −1 sont différentiables.
c) On dit que f est un C r difféomorphisme si f est un difféomorphisme et si f et f −1 sont de
classe C r .
Remarque 5.1.1
a) Une application bijective et continue n’est pas toujours un homéomorphisme. En effet, soit
(E, d) un espace métrique dont la topologie n’est pas la topologie discrète et δ(x, y) la distance
définie par
{ 0 si x = y
δ(x, y) =
1 si x ≠ y.
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