LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Démonstration. i) ⇒ ii). Étant donné ε > 0, il existe n ∈ N ∗ et des réels λ 1 , · · · , λ n tels que
∥
n∑ ∥ ∥∥
∥x − λ i e i ≤ ε.
On a alors
‖x‖ 2 −
i=1
i=1
n∑
|〈x, e i 〉| 2 = ‖x − p En (x)‖ 2 ∥
≤ ∥x −
n∑ ∥ ∥∥
2
λ i e i ≤ ε 2 ,
d’où ‖x‖ 2 ≤ ∑ ∞
i=1 |〈x, e i〉| 2 + ε 2 ce qui implique bien ii) en faisant tendre ε vers 0.
ii) ⇒ iii). On a x = (x − p En (x)) + p En (x) et x − p En (x) et p En (x) sont orthogonaux. On
obtient donc
‖x‖ 2 − ‖p En (x)‖ 2 = ‖x − p En (x)‖ 2 = d 2 (x, E n )
soit utilisant le Théorème (1.6.4)
‖x‖ 2 −
i=1
n∑
|〈x, e i 〉| 2 = ‖x − p En (x)‖ 2 ,
i=1
il en résulte que lim n→∞ p En (x) = x d’où le résultat car p En (x) = ∑ n
i=1 〈x, e i〉e i .
iii) ⇒ i). Évident.
Exemple 1.6.3 Soit dans l 2 la famille (e i ) i∈N ∗ définie par e i n = δ i,n . Pour x ∈ l 2 , on a 〈x, e i 〉 = x i ,
la famille (e i ) i∈N ∗ est donc totale dans l 2 d’après la Proposition 1.6.5, ii).
Soit alors (H, 〈., .〉) un espace de Hilbert et a ∈ H. L’application l a : H → R définie par
l a = 〈a, .〉 est linéaire et on a
|〈a, x〉| ≤ ‖a‖‖x‖
Il en résulte que l a est continue : l a ∈ H ∗ . Le résultat suivant montre que tous les éléments de H ∗
sont représentables de cette manière.
Théorème 1.6.6 Soit (H, 〈., .〉 un espace de Hilbert. Alors l’application
l
: H −→ H ∗
est une isométrie surjective de H dans H ∗ .
x ↦−→ l x
Démonstration. Il est clair que l est linéaire. Soit ϕ ∈ H ∗ , si ϕ = 0 on a ϕ = l 0 . On peut donc
supposer que ϕ ≠ 0. Le noyau F = ker ϕ est donc un hyperplan fermé de H. Il existe alors
b ∈ F ⊥ tel que b ∉ F car dans le cas contraire on aurait F ⊥ ⊂ F et donc H = F ⊕ F ⊥ ⊂ F
ce qui impliquerait la contradiction F = H. Remarquons alors que F ⊥ = [b] car H = F ⊕ [b],
H = F ⊕ F ⊥ et [b] ⊂ F ⊥ . Comme ker l b = ker ϕ, il existe un réel λ tel que ϕ = λl b = l a avec
a = λb. L’application l est alors linéaire et bijective de H dans H ∗ . De plus ‖l a (x)‖ ≤ ‖a‖‖x‖
pour tout x ∈ H et ‖l a (a)‖ = ‖a‖‖a‖, d’où ‖l a ‖ = ‖a‖.
On identifiera le plus souvent H avec H ∗ par l’isométrie définie ci-dessus.
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