LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Définition 1.6.7 Soit (e n ) n∈N ∗ une famille de vecteurs d’un espace normé (E, ‖ · ‖). On dit que
cette famille est totale si
∞⋃
E = F n ,
n=1
où F n = [e 1 , · · · , e n ]. Autrement dit, si pour tout x ∈ X et pour tout ε > 0, il existe n ≥ 1 et
x n ∈ F n tel que ‖x − x n ‖ ≤ ε. De façon équivalente la famille (e n ) n∈N ∗ est totale si et seulement
si pour tout x ∈ E, on a lim n→∞ d(x, E n ) = 0 (le démontrer).
Proposition 1.6.4 Soit (H, 〈., .〉) un espace de Hilbert. Alors la famille (e n ) n∈N ∗ est totale si et
seulement si
{e n : n ∈ N ∗ } ⊥ = 0.
Démonstration. On a
( ⋃ ∞ ) ⊥
{e n : n ∈ N ∗ } ⊥ = F n .
n=1
En effet il est clair que
( ⋃ ∞ ) ⊥
{e n : n ∈ N ∗ } ⊥ = F n ,
et l’orthogonal d’un sous espace vectoriel est égal à celui de son adhérence (le vérifier). On a donc
∞⋃
F n = H
n=1
n=1
si et seulement si
d’où le résultat.
( ⋃ ∞ ) ⊥
F n = {0},
n=1
On a alors une caractérisation simple des familles totales.
Proposition 1.6.5 Soit (H, 〈., .〉) un espace de Hilbert et (e i ) i∈N ∗ une famille orthonormée. Alors
les propriétés suivantes sont équivalentes,
i) la famille (e i ) i∈N ∗ est totale,
ii) pour tout x ∈ H, ‖x‖ 2 = ∑ ∞
i=1 |〈x, e i〉| 2 ,
iii) pour tout x ∈ H, x = ∑ ∞
i=1 〈x, e i〉e i .
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