LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Démonstration. a) Définissons
par
I : C(I, R n ) −→ R n
I(z) =
∫ b
a
z(t) dt.
Il est clair que I est linéaire continue et que I f = I ◦ N f . On obtient donc bien que I f est continue
comme composée de deux applications continues.
b) D’après le Théorème 3.4.2 l’application N f est continuement différentiable. Il en est donc
de même de I f . Pour x ∈ A et h ∈ C(I, E), on a
(DI f (x)h) = (I ◦ DN f (x))(h) =
∫ b
a
D 2 f(t, x(t))(h(t)) dt.
Remarque 3.4.1 Dans le cas où U ⊃ I × V où V est un ouvert de E, le Théorème 3.4.1 montre
que l’ensemble Ω = {x ∈ C(I, E) : x(I) ⊂ V } est ouvert dans C(I, E). Comme A ⊃ Ω , il en
résulte que A est non vide.
3.5 Primitives et Intégrales des Fonctions Réglées
Définition 3.5.1
a) Soit I un intervalle d’extrémités éventuellement infinies a et b et f : I −→ E une fonction
à valeurs dans un espace de Banach E. On dit que f est une fonction en escalier sur I s’il existe
une suite finie a = t 0 < · · · < t n = b telle que f soit constante sur chacun des intervalles ]t i , t i+1 [
pour tout 0 ≤ i ≤ n − 1.
b) On dit que f : I −→ E est une fonction réglée si elle admet une limite à droite et une limite
à gauche en tout t ∈ I. (Une fonction en escalier est réglée, une fonction continue est réglée ainsi
qu’une fonction monotone à valeurs dans R).
Le résultat suivant caractérise l’ensemble des fonctions réglées sur un intervalle compact
comme étant l’adhérence pour la topologie de la convergence uniforme de l’ensemble des fonctions
en escalier
Théorème 3.5.1 Soit I un intervalle compact et f : I −→ E une fonction à valeurs dans un
espace de Banach E. Alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes,
i) f est une fonction réglée,
ii) f est limite uniforme sur I d’une suite de fonctions en escalier.
60