LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

d’où
lim f n(x) = ‖x‖ϕ(x/‖x‖) = f(x).
n→∞
Il est alors aisé de vérifier, en passant à la limite dans les égalités f n (λx) = λf n (x) et f n (x + y) =
f n (x) + f n (y), que f est linéaire. Montrons que f est continue. En effet en prennant n = n 0 et en
faisant tendre m vers l’infini dans (1.4) il vient
d’où
sup ‖f n0 (x) − f(x)‖ ≤ ε,
‖x‖≤1
sup ‖f(x)‖ ≤ ‖f n0 ‖ + ε,
‖x‖≤1
ce qui, compte tenu de la Remarque 1.3.2 a) montre la continuité de f. Enfin, revenant à 1.4, on a
faisant tendre m vers l’infini,
‖f n − f‖ = sup ‖f n (x) − f(x)‖ ≤ ε
‖x‖≤1
et ce, pour tout n ≥ n 0 , ce qui achève la démonstration.
Définition 1.3.2 Soient E et F des espaces normés. On dit que f ∈ L(E, F ) est un isomorphisme
si f est bijective et si f −1 ∈ L(F, E). On note alors Isom (E, F ) l’ensemble éventuellement vide
des isomorphismes de E dans F .
Remarque 1.3.3
a) Si E est un espace de Banach et si F est isomorphe à E, alors F est un espace de Banach.
En effet, il existe D > 0 telles que, pour tout y, y ′ ∈ F ,
‖f −1 (y) − f −1 (y ′ )‖ ≤ D‖y − y ′ ‖.
Il en résulte que si (y n ) est de Cauchy dans F alors (f −1 (y n )) est de Cauchy dans E et converge
donc vers un élément x ∈ E, ce qui implique la convergence de (y n ) vers y = f(x).
b) Il est clair que la composée de deux isomorphismes est un isomorphisme.
c) Il existe des applications linéaires continues et bijectives qui ne sont pas des isomorphismes.
Cependant on a le résultat positif suivant que nous démontrerons dans le chapitre 4.
Théorème 1.3.3 Soient E et F des espaces de Banach et soit f ∈ L(E, F ) telle que f est bijective.
Alors f est un isomorphisme.
Définition 1.3.3 On dit que f ∈ L(E, F ) est une isométrie si pour tout x ∈ E
‖f(x)‖ = ‖x‖.
12