LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

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Il est clair que Ψ(v, w)(.) est linéaire de L(E, F ) dans L(F, E). Elle est aussi continue car ‖Ψ(v, w)(h)‖ ≤ ‖v‖‖w‖‖h‖. Observons que l’application Ψ : L(F, E) × L(F, E) −→ L(L(E, F ), L(F, E)) ainsi définie est bilinéaire (évident) et continue car ‖Ψ(v, w)‖ ≤ ‖v‖‖w‖. On a alors DI = Ψ ◦ (I, I) ce qui montre que DI est continue comme composée d’applications continues. 2.2 Opérations sur les applications différentiables Le résultat suivant découle de la continuité des opérations (voir chapitre 1, Remarque 1.2). (λ, x) ↦→ λx et (x, y) ↦→ x + y Proposition 2.2.1 Soient f, g : U −→ F deux applications différentiables en a ∈ U et soit λ ∈ R. Alors les applications λf et f + g sont différentiables en a et l’on a D(λf)(a) = λDf(a), D(f + g)(a) = Df(a) + Dg(a). Le résultat suivant est très important en calcul différentiel et il est impératif de savoir l’appliquer sans hésitation. Théorème 2.2.1 Soient E, F , G des espaces normés U ⊂ E, V ⊂ F des ouverts et soient f : U −→ V différentiable en a ∈ U, g : V −→ G différentiable en b = f(a) ∈ V . Alors l’application g ◦ f est différentiable en a et D(g ◦ f)(a) = Dg(f(a)) ◦ Df(a). Démonstration. On a, f(x) = f(a) + Df(a)(x − a) + r 1 (x), g(y) = g(b) + Dg(b)(y − b) + r 2 (y), 35
avec et On a donc Il en résulte que où Il reste à montrer que Observons que ce qui montre que lim x→a lim y→b r 1 (x) ‖x − a‖ = 0 r 2 (y) ‖y − b‖ = 0. g(f(x)) = g(b) + Dg(b)(Df(a)(x − a) + r 1 (x)) + r 2 (f(x)). g(f(x)) = g(b) + (Dg(b) ◦ Df(a))(x − a) + R(x), R(x) = Dg(b)(r 1 (x)) + r 2 (y). lim x→a R(x) ‖x − a‖ = 0. ‖Dg(b)(r 1 (x))‖ ≤ ‖Dg(b)‖‖r 1 (x)‖, Dg(b)(r 1 (x)) lim x→a ‖x − a‖ = 0. r 1 (x) Par ailleurs, utilisant le fait que lim = 0, il existe α > 0 tel que x→a ‖x − a‖ ‖r 1 (x)‖ ≤ ‖x − a‖ pour tout x tel que ‖x − a‖ ≤ α. Il vient, pour tout x ∈ B(a, α), ‖f(x) − b‖ = ‖Df(a)(x − a) + r 1 (x)‖ ≤ ‖Df(a)(x − a)‖ + ‖r 1 (x)‖ ≤ ‖Df(a)‖‖(x − a)‖ + ‖r 1 (x)‖, donc Soit alors ε > 0, il existe η > 0 tel que ‖f(x) − b‖ ≤ (‖Df(a)‖ + 1)‖x − a‖. (2.2) ‖r 2 (y)‖ ≤ pour tout y tel que ‖y − b‖ ≤ η. Pour tout x tel que ‖x − a‖ ≤ min utilisant (2.2), ε ‖y − b‖ (2.3) ‖Df(a)‖ + 1 ‖f(x) − b‖ ≤ η, 36 ( α, η ) il vient, ‖Df(a)‖ + 1)
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4.4 Conditions d’Optimalité Déf
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Alors il existe λ ≤ 0 tel que
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Considérons f : (E, δ) −→ (E,
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Comme r(.) est Lipschitzienne de ra
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Démonstration. Comme Isom (F, G) e
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avec Dϕ(0) = −(D 2 h(0, 0)) −1
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De plus, si f(a) = 0, on a g(U ′
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De plus, p étant injective est une
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à diminuer η que ϕ(] − η, +η
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