LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

3.3 Applications Strictement Différentiables
Définition 3.3.1 Soit f : U −→ F une application définie sur un ouvert d’un espace normé E et
à valeurs dans un espace normé F . On dit que f est strictement différentiable en a ∈ U s’il existe
une application linéaire continue ϕ ∈ L(E, F ) telle que, pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que
f − ϕ soit ε-Lipschitzienne sur B(a, η), ce qui signifie
pour tout x, z ∈ B(a, η), ‖f(z) − f(x) − ϕ(z − x)‖ ≤ ε‖z − x‖.
Une application strictement différentiable en a est différentiable en a et Df(a) = ϕ. Il suffit de
remplacer x par a dans l’inégalité ci-dessus.
Théorème 3.3.1 Soit f : U −→ F une application définie sur un ouvert d’un espace normé E et
à valeurs dans un espace normé F . On suppose que f est différentiable sur U et que l’application
Df est continue en a. Alors f est strictement différentiable en a.
Démonstration. Posons g(x) = f(x) − f(a) − Df(a)(x − a). On a Dg(x) = Df(x) − Df(a).
Utilisant la continuité de Df en a et pour tout ε > 0, il existe donc η > 0 tel que, pour tout
y ∈ B(a, η)
‖Dg(y)‖ ≤ ε.
D’après le Corollaire 3.2.1 pour tout x, z ∈ B(a, η), on a
d’où le résultat.
‖f(z) − f(x) − Df(a)(z − x)‖ = ‖g(z) − g(x)‖
≤
≤
sup ‖Dg(y)‖ × ‖z − x‖
y∈B(a,η)
ε‖z − x‖
Il existe des applications strictement différentiable en un point sans que la différentielle soit
continue en 0.
Exemple 3.3.1 Introduisons la fonction paire h :] − 1, 1[−→ R définie par
⎧
⎨ 0 si x = 0
h(x) =
⎩
(n + 1) −1 si x ∈ [(n + 1) −1 , n −1 [
et posons pour x ∈] − 1, 1[
f(x) =
∫ x
0
h(t) dt.
Soit ε > 0 et n ∈ N ∗ tel que n + 1 −1 ≤ εn −1 . Comme |h(t)| ≤ ε sur ]−ε, ε[, f est ε-Lipschitzienne
sur ] − ε, ε[ ce qui montre que f est strictement différentiable en 0 avec f ′ (0) = 0 alors que f
n’est pas dérivable aux points x = n −1 .
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