LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

iv) =⇒ iii). (C’est un peu moins facile). Comme Dp(0) est injective, on a Dp(0) T est surjective,
ce qui implique que le sous-espace vectoriel engendré par ∇p 1 (0), · · · , ∇p n (0) est R d . Il existe
donc i 1 , · · · , i d ∈ [1, n] tels que (∇p i1 (0), · · · , ∇p id (0)) est une base de R d . En permutant les coordonnées,
on peut supposer que (∇p 1 (0), · · · , ∇p d (0)) est une base de R d , ce qui implique que
l’application q : Ω −→ R d définie par q(t) = (p 1 (t), · · · , p d (t)) vérifie Dq(0) ∈ Isom (R d ).
Il existe donc un ouvert ˆΩ ∋ 0 tel que q soit un C r -difféomorphisme de ˆΩ dans un ouvert
R d ⊃ Ŵ ∋ â = (a 1, · · · , a d ). Comme p est un homéomorphisme de Ω dans S ∩ V , il existe
un ouvert R n ⊃ ˆV ∋ a tel que p(ˆΩ) = S ∩ ˆV . Introduisons alors g : Ŵ −→ R n−d par
g(ẑ) = (p d+1 (q −1 (ẑ), · · · , p n (q −1 (ẑ)). L’application g est de classe C r sur Ŵ et
{(ẑ, g(ẑ)) : ẑ ∈ Ŵ } = S ∩ ˆV .
En effet, si x ∈ S ∩ ˆV , alors x = p(t) pour un t ∈ ˆΩ et ẑ = (p 1 (t), · · · , p d (t)) ∈ Ŵ de telle sorte
que
x = (p 1 (t), · · · , p d (t), p d+1 (t), · · · , p n (t)) = (ẑ, g(ẑ)).
Réciproquement, si x = (ẑ, g(ẑ)) pour ẑ ∈ Ŵ , alors t = q−1 (ẑ) ∈ ˆΩ, d’où
donc x ∈ p(ˆΩ) = S ∩ ˆV .
x = (p 1 (t), · · · , p d (t), p d+1 (t), · · · , p n (t)),
iii) =⇒ i). Soit U l’ouvert de R n défini par U = W × R n−d et soit f : U −→ R n définie
par f(y, z) = (y, g(y) − z). L’application f est de classe C r et, pour tout u = (v, w) ∈ R n ,
on a Df(a)u = (v, Dg(â)v − w) où â = (a 1 , · · · , a d ). Il en résulte que Df(a) est injective
donc bijective car Df(a) ∈ L(R n , R n ). D’après le Théorème du difféomorphisme local, il existe
donc un ouvert ˆV ∋ a tel que ˆV ⊂ W × R n−d et tel que f soit un C r difféomorphisme de ˆV
dans l’ouvert Ŵ = f( ˆV ). Étant donné x = (y, z) ∈ S ∩ ˆV , on a y ∈ W donc z = g(y) et
f(x) = (y, 0) ∈ f( ˆV ) ∩ R d × {0}. Réciproquement, si x = (y, 0) ∈ f( ˆV ) ∩ R d × {0}, alors
y ∈ W et il existe z ∈ R n−d tel que x = (y, g(y) − z) = (y, 0) d’où z = g(y) donc (y, z) ∈ S et
x ∈ f(S ∩ ˆV ). On a donc bien
5.4.3 Sous-espace tangent
f(S ∩ ˆV ) = f( ˆV ) ∩ R d × {0}.
Définition 5.4.2 Soit S ⊂ R n une sous-variété de classe C r et de dimension d. On dit que u ∈ R n
est tangent à S en a ∈ S s’il existe η > 0 et une fonction ϕ :] − η, +η[−→ S dérivable en 0 telle
que ϕ(0) = a et ϕ ′ (0) = u.
Théorème 5.4.4 L’ensemble T a S des vecteurs tangents en a à une sous-variété S ∋ a de classe
C r et de dimension d est un espace vectoriel de dimension d.
Démonstration. Considérons le voisinage ouvert V de a et le C r -difféomorphisme f : V −→
f(V ) tel que f(S ∩ V ) = f(V ) ∩ R d × {0}. On peut supposer que f(a) = 0. Soit alors v ∈ T a S
et ϕ :] − η, +η[−→ S dérivable en 0 telle que ϕ(0) = a et ϕ ′ (0) = u. On peut supposer, quitte
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