LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

g : U ×F → F par g(x, y) = f(x)−y. Posant b = f(a) on a D 1 g(a, b) = Df(a) ∈ Isom (E, F ).
D’après le Théorème 5.2.1 il existe un voisinage ouvert V de (a, b), un voisinage ouvert B de b et
une application ψ : B −→ X de classe C r telle que (x, y) ∈ V et g(x, y) = 0 si et seulement si
y ∈ B et x = ψ(y). Posons
A = {x ∈ X : (x, f(x)) ∈ V }.
C’est un ensemble ouvert comme image réciproque d’un ouvert par une application continue et
a ∈ A. On a alors que f est bijective de A dans B et f −1 = ψ sur B. En effet si x 1 , x 2 ∈ A vérifient
f(x 1 ) = f(x 2 ) := y on a (x 1 , y), (x 2 , y) ∈ V et g(x 1 , y) = g(x 2 , y) = 0 donc x 1 = x 2 = ψ(y).
Par ailleurs si y ∈ B, posant x = ψ(y) on a (x, y) ∈ V et f(x) = y donc x ∈ A. On a donc bien
montré que f était un C r difféomorphisme de A dans B.
5.3 Application : Multiplicateurs de Lagrange
Théorème 5.3.1 Soient g : U −→ F une application de classe C 1 définie sur un ouvert U d’un
espace de Banach E, à valeurs dans un espace de Banach F et f : U −→ R une fonction. On
pose S = g −1 (0) et on suppose que a ∈ S est un extremum local de f sur S. On suppose aussi
que f est différentiable en a et que :
– Dg(a) ∈ L(E, F ) est surjective ;
– ker Dg(a) admet un supplémentaire topologique (i.e. E = ker Dg(a) ⊕ Y avec projections
continues).
Alors, il existe λ ∈ F ∗ = L(F, R) unique tel que
Df(a) = λ ◦ Dg(a).
Démonstration. On pose X = ker Dg(a) et on considère un sous-espace vectoriel fermé Y ⊂ E
tel que E = X⊕Y dont l’existence est garantie par l’hypothèse. Soit r > 0 tel que la boule ouverte
B(a, 2r) soit contenue dans U. Posant V = X ∩ B(0, r) et W = Y ∩ B(0, r), on remarque que
V et W sont des ouverts non vides de Y et de Y et que a + V + W ⊂ U, ce qui permet de définir
une application h : V × W −→ F par h(v, w) = g(a + v + w). L’application h est de classe C 1
comme composée d’une application de classe C 1 et d’une application affine continue. On a alors
Dh(v, w) = Dg(a + v + w) ◦ l avec l : X × Y −→ E définie par l(h, k) = h + k pour tout
(h, k) ∈ X × Y . Il en résulte que
et
D 1 h(v, w) = Dh(v, w) ◦ l(·, 0) = Dg(a + v + w) |X ,
D 2 h(v, w) = Dh(v, w) ◦ l(0, ·) = Dg(a + v + w) |Y .
On a h(0, 0) = 0. Comme E = ker Dg(a) ⊕ Y , on a ker Dg(a) |Y = ker Dg(a) ∩ Y = {0} donc
Dg(a) |Y est injective. Par ailleurs, comme Dg(a) est surjective, tout élément w ∈ F s’écrit w =
Dg(a)(u + v) avec (u, v) ∈ ker Dg(a) × Y , donc w = Dg(a) |Y (v), ce qui montre que Dg(a) |Y
est aussi surjective. On obtient donc que D 2 h(0, 0) = Dg(a) |Y ∈ Isom (Y, F ) et h(0, 0) = 0.
Utilisant le théorème des fonctions implicites, il existe un voisinage ouvert A de 0 dans X et une
application ϕ : A −→ Y telle que
g(a + v + ϕ(v)) = 0 pour tout v ∈ A,
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