LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

ce qui montre que L est linéaire et ‖L‖ ≤ ‖y‖ q (voir T.D.).
c) Soient E, F , G des espaces normés et soient f ∈ L(E, F ), g ∈ L(F, G). Pour tout x ∈ E
on a
‖g(f(x))‖ ≤ ‖g‖‖f(x)‖ ≤ ‖f‖‖g‖‖x‖.
il en résulte que g ◦ f ∈ L(E, G) et
De plus les applications
et
‖g ◦ f‖ ≤ ‖g‖‖f‖. (1.3)
L : L(E, F ) −→ L(E, G)
f ↦−→ f ◦ g
M : L(F, G) −→ L(E, G)
g ↦−→ f ◦ g
sont linéaires. Elles sont aussi continues car pour tout f ∈ L(E, F ), g ∈ L(F, G) il découle de
(1.3) que
‖L(f)‖ ≤ ‖g‖‖f‖
et
‖M(g)‖ ≤ ‖f‖‖g‖.
Théorème 1.3.2 Soient (E, ‖ · ‖) un espace normé et (F, ‖ · ‖) un espace de Banach. Alors
L(E, F ) est un espace de Banach muni de la norme de la Définition 1.3.1.
Démonstration. Soit (f n ) une suite de Cauchy dans L(E, F ). Pour tout ε > 0, il existe n 0 ∈ N
tel que, pour tout m, n ≥ n 0 ,
‖f n − f m ‖ = sup ‖f n (x) − f m (x)‖ ≤ ε, (1.4)
‖x‖≤1
Pour tout x ∈ B = B(0, 1), la suite (f n (x)) est de Cauchy, elle converge donc vers un élément
noté ϕ(x). Il existe donc une application
ϕ : B → F
telle que la restriction f n |B converge uniformément vers ϕ. Posons, pour tout x ∈ X\{0}
f(x) = ‖x‖ϕ(x/‖x‖) et f(0) = 0.
Pour tout x ≠ 0, il vient
f n (x) = ‖x‖f n (x/‖x‖),
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