LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

4.4 Conditions d’Optimalité
Définition 4.4.1 Soit f : U −→ R une fonction définie sur un ouvert U d’un espace topologique
E.
On dit que f admet un minimum (resp. maximum) local en a ∈ U s’il existe un voisinage V
de a tel que
f(x) ≥ f(a) (resp. f(x) ≤ f(a)) pour tout x ∈ V.
Si
f(x) > f(a) (resp. f(x) < f(a)) pour tout x ∈ V \ {a}
on dit que l’extremum est strict. On dit que l’extremum est global si l’inégalité a lieu pour tout
x ∈ U.
Théorème 4.4.1
a) Si f admet un extremum local en a ∈ U et si f est différentiable en a, alors
Df(a) = 0.
Si de plus f est deux fois différentiable en a alors pour tout h ∈ E
D 2 f(a)(h, h)
garde un signe constant (≥ 0 pour un minimum, ≤ 0 pour un maximum).
b) On suppose que f est deux fois différentiable en a ∈ U, qu’il existe α > 0 tel que pour tout
h ∈ E
D 2 f(a)(h, h) ≥ α‖h‖ 2
et que
Alors f admet un minimum local strict en a.
Df(a) = 0.
Démonstration. a) On suppose que f admet un minimum local en a. Soit h ∈ E. Pour tout
t ∈ R + assez petit on a donc
f(a + th) − f(a) ≥ 0.
Divisant par t et faisant tendre t vers 0 il vient Df(a)(h) ≥ 0. Changeant h en −h, on en déduit
Df(a)(h) ≤ 0 soit
Df(a)(h) = 0.
Si f est deux fois différentiable en a, on a
t 2 2 D2 f(a)(h, h) + t 2 ε(t) = f(a + th) − f(a) ≥ 0.
Divisant par t 2 et faisant tendre t vers 0, il vient
D 2 f(a)(h, h) ≥ 0.
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