LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

et
f(x) ≥ f(x t ) + tDf(x t )(y − x).
Multipliant la première inégalité par t, la seconde par 1 − t et ajoutant, on obtient
tf(y) + (1 − t)f(x) ≥ f(x t ),
donc f est bien convexe.
Dans le cas particulier où E = E 1 × · · · × E n , on rappelle que la différentiabilité de f en a ∈ U
implique l’existence des différentielles partielles D j f(a) ∈ L(E j , F ). Si l’application D j f :
U −→ L(E j , F ) est différentiable en a ∈ U on a pour tout 1 ≤ i ≤ n
Pour tout u i ∈ E i et v j ∈ E j on pose alors
D i D j f(a) ∈ L(E i , L(E j , F )).
D i D j f(a)(u i , v j ) =
(
)
D i D j f(a)(u i ) (v j ).
On vérifie immédiatement que D i D j f(a) ∈ L 2 (E i , E j ; F ). On a alors
Proposition 4.2.3 Soit f : U ⊂ E 1 × · · · × E n −→ F une application deux fois différentiable
en a ∈ U. Alors les applications D i f, 1 ≤ i ≤ n sont différentiables en a et pour 1 ≤ i ≤ n,
1 ≤ j ≤ n, et pour tout u, v ∈ E 1 × · · · × E n , on a
D 2 f(a)(u, v) =
n∑ n∑
D i D j f(a)(u i , v j ).
i=1 j=1
De plus, pour tout (ū, ¯v) ∈ E i × E j
D j D i f(a)(¯v, ū) = D i D j f(a)(ū, ¯v).
Démonstration. Pour tout x voisin de a et pour tout h ∈ E j , on a
D j f(x)(h) = Df(x)(0, · · · , h, · · · , 0) = (Df(x) ◦ ϕ j )(h)
où ϕ j est l’injection canonique de E j dans E 1 × · · · × E n . On a donc
D j f = Φ j ◦ Df
où Φ j ∈ L(L(E 1 × · · · × E n , F ), L(E j , F )) est définie par
Φ j (A) = A ◦ ϕ j .
Comme Df et Φ j sont différentiables en a il en est de même de D j f. Il en résulte que les différentielles
partielles
D i D j f(a) ∈ L(E i , L(E j , F ))
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