LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

est une isométrie linéaire de L(E, L p−1 (E; F )) dans L p (E; F ) et l’isométrie réciproque
Ψ : L p (E; F ) → L(E, L p−1 (E; F ))
est définie, pour tout f ∈ L p (E; F ), x ∈ E et (x 1 , · · · , x p−1 ) ∈ E p−1 par
Ψ(f)(x)(x 1 , · · · , x p−1 ) = f(x, x 1 , · · · , x p−1 ).
Avec ces notations, on a, si f est p fois différentiable en a,
Ψ(D p f(a)) = D(D p−1 f)(a), (4.1)
et
Φ(D(D p−1 f)(a)) = D p f(a). (4.2)
Si de plus f est p fois différentiable dans un voisinage V de a, alors
D(D p−1 f) = Ψ ◦ D p f sur V,
et
D p f = Φ ◦ D(D p−1 f) sur V.
Dans le cas où f est définie sur un intervalle ouvert de R, il est utile de faire le lien entre différentielle
d’ordre p et dérivée d’ordre p.
Définition 4.1.2 Soit f : I −→ E une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R et p ∈ N ∗ .
On dit que f est p fois dérivable en a ∈ I si f (p−1) existe au voisinage de a et est dérivable en a.
On pose alors f (p) = (f (p−1) ) ′ .
Proposition 4.1.1 Soit f : I −→ E une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R. Alors
f est p fois dérivable en a si et seulement si f est p fois différentiable en a. De plus pour tout
(u 1 , · · · , u p ) ∈ R p on a
D p f(a)(u 1 , · · · , u p ) = u 1 · · · u p f (p) (a) (4.3)
et
f (p) (a) = D p f(a)(1, · · · , 1). (4.4)
Démonstration. Par récurrence sur p. Pour p = 1, c’est le Théorème 2.1.1 du Chapitre 2. Supposons
le résultat à l’ordre p. Les relations (4.3) et (4.4) peuvent s’ecrire
D p f = α ◦ f (p) et f (p) = e ◦ D p f,
où α : E −→ L p (R; E) et e : L p (R; E) −→ E sont les applications linéaires continues définies
pour tout x ∈ E, t 1 , · · · , t p ∈ R p , A ∈ L p (R; E) par α(x)(t 1 , · · · , t p ) = t 1 · · · t p x et e(A) =
A(1, · · · , 1). Le résultat découle alors des Théorèmes 2.1.1 et 2.2.1 du chapitre 2. On obtient que
D p f est différentiable en a et que
D(D p f)(a) = α ◦ Df (p) (a),
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