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Chapitre 3 Théorème des Accroissements Finis et Applications 3.1 Théorème des Accroissements Finis Définition 3.1.1 Soit f : I −→ E une fonction définie sur un intervalle I de R à valeurs dans un espace normé E, on dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) en t 0 ∈ I si le vecteur f(t) − f(t 0 ) a une limite à droite (resp. à gauche) en t 0 . On note f d ′ t − t (t 0) (resp. f g(t ′ 0 )) cette limite 0 à droite (resp. à gauche) quand elle existe. Le résultat suivant est connu sous le nom de Théorème des accroissements finis. Théorème 3.1.1 Soit E un espace normé et soient f : [a, b] −→ E, g : [a, b] −→ R des fonctions continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[. On suppose que, pour tout t ∈]a, b[ ‖f ′ (t)‖ ≤ g ′ (t). Alors ‖f(b) − f(a)‖ ≤ g(b) − g(a). Démonstration. Montrons que l’on a ‖f(v) − f(u)‖ ≤ g(v) − g(u) pour tout a < u < v < b, ce qui donnera bien la conclusion du théorème en faisant tendre u vers a et v vers b, utilisant la continuité de f et g en a et b. Supposons le contraire, il existe donc a < u < v < b tels que ‖f(v) − f(u)‖ − (g(v) − g(u)) = η > 0. Définissons a 0 = u et b 0 = v. Comme ∥ ‖f(v) − f(u)‖ − (g(v) − g(u)) ≤ ∥f(v) − f( u + v ( ) ∥ − g(v) − g( u + v ) ) + 2 2 ∥ ∥f( u + v ( ) − f(u) ∥ − g( u + v ) ) − g(u) 2 2 47
on a ∥ ∥∥f(v) − f( u + v 2 ( ) ∥ − ou bien ∥ ∥∥f( u + v ( ) − f(u) ∥ − 2 Choisissons alors a 1 , b 1 ∈ {a 0 , b 0 } tels que g(v) − g( u + v 2 g( u + v 2 ) ) ≥ η 2 , ) ) − g(u) ≥ η 2 . ‖f(b 1 ) − f(a 1 )‖ − (g(b 1 ) − g(a 1 )) ≥ η 2 . On construit alors par récurrence, une suite décroissantes d’intervalles [a n , b n ] tels que b n − a n = b 0 − a 0 2 n et ‖f(b n ) − f(a n )‖ − (g(b n ) − g(a n )) ≥ η 2 n . (3.1) Les suites (a n ) n∈N et (b n ) n∈N convergent alors vers une limite commune c ∈ [a 0 , b 0 ] ⊂]a, b[. Utilisant la dérivabilité de f et g en c, on a f(a n ) = f(c) + (a n − c)f ′ (c) + (a n − c)ε(a n − c) f(b n ) = f(c) + (b n − c)f ′ (c) + (b n − c)ε(b n − c) g(a n ) = g(c) + (a n − c)g ′ (c) + (a n − c)η(a n − c) (3.2) g(b n ) = g(c) + (b n − c)g ′ (c) + (b n − c)η(b n − c), avec lim h→0 ε(h) = 0 et lim h→0 η(h) = 0. Revenant à (3.1), et utilisant l’inégalité triangulaire, il vient ‖f(b n ) − f(c)‖ + ‖f(c) − f(a n )‖ − (g(b n ) − g(c)) − (g(c) − g(a n )) ≥ η 2 n . On obtient donc, utilisant (3.2) et le fait que a n ≤ c ≤ b n , avec η 2 n ≤ ‖f ′ (c)‖(b n − c + c − a n ) − g ′ (c)(b n − a n ) + r n r n = (b n − c)(‖ε(b n − c)‖ + |η(b n − c)|) + (c − a n )(‖ε(a n − c)‖ + |η(a n − c)|). Divisant par b n − a n , il vient η b 0 − a 0 ≤ ‖f ′ (c)‖ − g ′ (c) + (b n − a n ) −1 r n . Il existe δ > 0 tel que, pour tout |h| ≤ δ, on a ‖ε(h)‖ ≤ ε et ‖η(h)‖ ≤ ε. Pour tout n assez grand pour que b n − a n ≤ δ, on a alors b n − c ≤ b n − a n et c − a n ≤ b n − a n , de telle sorte que r n ≤ 4(b n − a n )ε, 48
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De plus, si f(a) = 0, on a g(U ′
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De plus, p étant injective est une
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à diminuer η que ϕ(] − η, +η
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