LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

avec
Dϕ(0) = −(D 2 h(0, 0)) −1 ◦ D 1 h(0, 0) = −(Dg(a) |Y ) −1 ◦ Dg(a) |X = 0,
car Dg(a) |X = 0. Supposant que a est un minimum local de f sur S, on a, pour tout v dans un
voisinage de 0,
f(a + v + ϕ(v)) ≥ f(a) = f(a + 0 + ϕ(0)),
ce qui implique que la fonction θ(v) = f(a + v + ϕ(v)) a un minimum local en 0, d’où
0 = Dθ(0) = Df(a) ◦ (I X + Dϕ(0)) = Df(a) |X .
Posons alors λ = Df(a) ◦ (Dg(a) |Y ) −1 ∈ L(F, R). On a, par définition :
De plus
Df(a) |Y = (λ ◦ Dg(a)) |Y .
Df(a) |X = (λ ◦ Dg(a)) |X = 0,
donc Df(a) = λ ◦ Dg(a) car E = X ⊕ Y . L’unicité de λ découle du fait que Df(a) = λ ◦ Dg(a)
implique Df(a) |Y = (λ ◦ Dg(a)) |Y , d’où λ = Df(a) ◦ (Dg(a) |Y ) −1 .
Remarque 5.3.1 a) Le théorème précédent reste vrai sans avoir à supposer que ker Dg(a) admet
un supplémentaire topologique ; mais la démonstration dépasse alors le niveau de ce cours.
b) Dans le cas où E est un espace de Hilbert, il est toujours vrai que ker Dg(a) admet un
supplémentaire topologique (son orthogonal, par exemple).
On en déduit le
Corollaire 5.3.1 Soient U ⊂ R n un ouvert, g : U −→ R m une application de classe C 1 et
f : U −→ R une fonction. On pose S = g −1 (0) et on suppose que a ∈ S est un extremum local
de f sur S. On suppose aussi que f est différentiable en a et que :
Alors, il existe λ ∈ R m unique tel que
(∇g 1 (a), · · · , ∇g m (a)) sont linéairement indépendant.
∇f(a) =
m∑
λ i ∇g i (a).
i=1
Démonstration. On a Dg(a)u = (〈∇g 1 (a), u〉, · · · , 〈∇g m (a), u〉) pour tout u ∈ R n , de telle sorte
que Dg(a) T (v) = ∑ m
i=1 v i∇g i (a) pour tout v ∈ R m . Comme (∇g 1 (a), · · · , ∇g m (a)) sont linéairement
indépendant, il en résulte que Dg(a) T est injective donc Dg(a) est surjective. Par ailleurs
ker Dg(a) admet un supplémentaire topologique (son orthogonal, par exemple). Appliquant le
Théorème 5.3.1, il existe λ ∈ R m unique tel que Df(a)u = 〈λ, Dg(a)u〉 pour tout u ∈ R n , soit
〈∇f(a), u〉 =
m∑
〈 ∑ m 〉
λ i 〈∇g i (a), u〉 = λ i ∇g i (a), u ,
i=1
96
i=1