LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

(M est fini comme borne supérieure d’une fonction continue sur un compact). Il en résulte que
‖L(h)‖ ≤ M‖h‖,
ce qui montre que L ∈ L(C(I, E), C(I, F )) et donc que N f est différentiable en x. Reste à montrer
que DN f est continue. Pour tout x, y, pour tout h ∈ C(I, E) et pout tout t ∈ I, on a
de telle sorte que
donc
‖((DN f (y) − DN f (x))(h))(t)‖ ≤ ‖D 2 f(t, y(t)) − D 2 f(t, x(t))‖ L(E,F ) ‖h(t)‖,
‖(DN f (y) − DN f (x))(h)‖ ∞ ≤ sup ‖D 2 f(t, y(t)) − D 2 f(t, x(t))‖ L(E,F ) ‖h‖ ∞
t∈I
‖DN f (y) − DN f (x)‖ L(C(I,E),C(I,F )) ≤ sup ‖D 2 f(t, y(t)) − D 2 f(t, x(t))‖ L(E,F ) ,
t∈I
ce qui montre que
‖DN f (y) − DN f (x)‖ L(C(I,E),C(I,F )) ≤ ‖N D2 f(y) − N D2 f(x)‖ ∞ ,
ce qui achève la démonstration car N D2 f est continue.
Le Théorème 3.4.2 a de nombreuses applications. Citons le
Théorème 3.4.3 Soit I = [a, b] un intervalle compact. Soit E un espace normé, U ⊂ R × E un
ouvert et f : U −→ R n une application continue. On pose
A = {x ∈ C(I, E) : (t, x(t)) ∈ U pour tout t ∈ I}
et on définit une application I f : A −→ R n par
Alors,
a) I f est continue sur A.
I f (x) =
∫ b
a
f(t, x(t)) dt.
b) Si de plus D 2 f existe et est continue sur U, l’application I f est de classe C 1 sur A et, pour
x ∈ A et h ∈ C(I, E)
(DI f (x))(h) =
∫ b
a
D 2 f(t, x(t))h(t) dt.
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