LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

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Exemple 1.3.2 Soit E un espace normé. Pour tout h ∈ E on définit l’application ϕ h : R −→ E t ↦−→ th On a ϕ h ∈ L(R, E) et l’application ϕ qui à h associe ϕ h est un isomorphisme et une isométrie de E dans L(R, E). En effet ‖ϕ h ‖ = max(‖ϕ h (1)‖, ‖ϕ h (−1)‖) = ‖ϕ h (1)‖ = ‖h‖. L’isométrie réciproque ψ : L(R, E) → E est définie par ψ(f) = f(1) pour tout f ∈ L(R, E). Dans la suite, on identifiera L(R, E) et E par cette isométrie. Le résultat suivant a d’importantes applications. Théorème 1.3.4 Soient E, F des espaces de Banach, alors Isom (E, F ) est ouvert (éventuellement vide) dans L(E, F ) et l’application u ↦−→ u −1 est continue sur Isom (E, F ). Démonstration. Soit v ∈ L(E) tel que ‖v‖ < 1. La série de terme général (v n ) est alors normalement convergente car ‖v n ‖ ≤ ‖v‖ n . Posons S n = ∑ n k=0 vk , on a v ◦ S n = S n ◦ v = S n+1 − I où I désigne l’application identique de E dans E. Il résulte alors de la continuité des applications u ↦−→ u ◦ v et u ↦−→ v ◦ u (voir Exemple (1.3.1), c)) que S = ∑ ∞ k=0 vk vérifie (I − v) ◦ S = S ◦ (I − v) = I, donc que I − v est bijective, c’est donc un isomorphisme d’après le Théorème 1.3.3. Soit alors u ∈ Isom (E, F ) et v ∈ L(E, F ). On a, v ∈ Isom(E, F ) → u −1 ◦ v ∈ Isom(E). Or u −1 ◦ v = I − w avec w = I − (u −1 ◦ v) = u −1 ◦ (u − v). On a, ‖w‖ = ‖u −1 ◦ (u − v)‖ ≤ ‖u −1 ‖‖(u − v)‖. donc B(u, 1/‖u −1 ‖) ⊂ Isom (E, F ). Par ailleurs on a d’où On obtient alors ‖v −1 − u −1 ‖ ≤ v −1 = (u ◦ (I − w)) −1 = (I − w) −1 ◦ u −1 , v −1 − u −1 = ((I − w) −1 − I) ◦ u −1 = ∥ ∞∑ ∥ w k ∥∥‖u −1 ‖ ≤ k=1 ∞∑ w k ◦ u −1 . k=1 ∞∑ ‖w k ‖‖u −1 ‖ ≤ k=1 Comme w tend vers 0 quand v tend vers u on a bien le résultat. ‖w‖ 1 − ‖w‖ ‖u‖−1 . 13
1.4 Normes équivalentes Définition 1.4.1 Soit E un espace vectoriel muni de deux normes ‖ · ‖ 1 et ‖ · ‖ 2 . On dit que ces deux normes sont équivalentes si elles définissent la même topologie (i.e. si les suites convergentes et leurs limites sont les mêmes). Ceci équivaut à la continuité des applications linéaires : Il en résulte immédiatement le I : (E, ‖ · ‖ 1 ) → (E, ‖ · ‖ 2 ) I : (E, ‖ · ‖ 2 ) → (E, ‖ · ‖ 1 ). Théorème 1.4.1 Soient ‖ · ‖ 1 et ‖ · ‖ 2 deux normes sur un espace vectoriel E. Les propriétés suivantes sont équivalentes, i) ‖ · ‖ 1 et ‖ · ‖ 2 sont des normes équivalentes, ii) il existe a, b > 0 telles que, pour tout x ∈ E, ‖x‖ 1 ≤ a‖x‖ 2 et ‖x‖ 2 ≤ b‖x‖ 1 . Démonstration. Elle résulte de la Définition 1.4.1 et du Théorème 1.3.2, remarquant que ii) équivaut à la continuité des applications linéaires I : (E, ‖ · ‖ 2 ) → (E, ‖ · ‖ 2 ) et I : (E, ‖ · ‖ 1 ) → (E, ‖ · ‖ 2 ). Dans le cas des espaces de dimension finie, on a Théorème 1.4.2 Toutes les normes sont équivalentes dans R d . Démonstration. Posons, pour tout x ∈ R d , ‖x‖ = ∑ d i=1 |x i| et considérons une norme ρ(.) sur R d . Pour tout i = 1, · · · , d définissons le vecteur e i = (0, · · · , 1, · · · , 0), dont toutes les composantes sont nulles sauf celle de rang i. Pour tout x, y ∈ R d on a ( d∑ ) ρ(x − y) = ρ (x i − y i )e i ≤ ≤ i=1 d∑ |x i − y i |ρ(e i ) i=1 M‖x − y‖, où M = sup 1≤i≤d ρ(e i ). La fonction ρ(.) est donc continue, elle atteint alors sa borne inférieure sur le compact S = {x ∈ R d : ‖x‖ = 1}. Il existe donc m > 0 tels que, pour tout x ≠ 0, on a m ≤ ρ(x/‖x‖), d’où m‖x‖ ≤ ρ(x) ≤ M‖x‖, ce qui montre que les normes ‖ · ‖ et ρ(.) sont équivalentes. Soient alors ρ 1 et ρ 2 deux normes sur R d . Comme ρ 1 est équivalente à ‖ · ‖ et que ‖ · ‖ est équivalente à ρ 2 , on obtient que ρ 1 est équivalente à ρ 2 (le vérifier). 14
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d’où D p+1 f(a)(u 1 , · · · ,
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Théorème 4.2.3 Soit f : U −→
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Démonstration. On a Df = ∑ n i=1
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Démonstration. a) Remarquons qu’
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Alors il existe λ ≤ 0 tel que
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Considérons f : (E, δ) −→ (E,
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Comme r(.) est Lipschitzienne de ra
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Démonstration. Comme Isom (F, G) e
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avec Dϕ(0) = −(D 2 h(0, 0)) −1
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De plus, si f(a) = 0, on a g(U ′
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De plus, p étant injective est une
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à diminuer η que ϕ(] − η, +η
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