LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Fixons alors p 0 (qui ne dépend que de ε). Utilisant la différentiabilité de f p0 en a, il existe η > 0
tel que, pour tout x ∈ B(a, η) ⊂ B(a)
On obtient donc, pour tout x ∈ B(a, η),
ce qui achève la démonstration.
‖f p0 (x) − f p0 (a) − Df p0 (a)(x − a)‖ ≤ ‖x − a‖ε/3.
‖R(x)‖ ≤ ‖R 1 (x)‖ + ‖R 2 (x)‖ + ‖R 3 (x)‖ ≤ ε‖x − a‖,
On peut écrire ce résultat pour des séries d’applications.
Corollaire 3.2.3 Soit U ⊂ E un ouvert connexe d’un espace normé et soit u p : U −→ F une
suite d’applications différentiables à valeurs dans un espace de Banach F . On suppose
i) Il existe a ∈ U tel que la série de terme général (u p (a)) converge dans F .
ii) La série de fonctions de terme général (Du p (.)) converge uniformément vers une application
g : U −→ L(E, F ), ce qui signifie que
(
lim
p→∞
sup
y∈U
∥
p∑
) Du k (y) − g(y) ∥ = 0.
L(E,F )
k=0
Alors la série d’applications de terme général (u p (.)) converge uniformément sur U et on a
Dans le cas des fonctions on obtient :
( ∑ ∞ )
D u k (x) =
k=0
∞∑
Du k x.
Théorème 3.2.2 Soit I ⊂ R un intervalle ouvert, soient f p : I −→ F , p ∈ N une suite de
fonctions dérivables à valeurs dans un espace de Banach F . On suppose que
i) Il existe t 0 ∈ I tel que la suite (f p (t 0 )) converge.
ii) Il existe une fonction g : I −→ F telle que, pour tout a ∈ I, il existe un intervalle
ouvert I(a) contenant a tel que la suite de fonctions (f ′ p) converge uniformément vers une fonction
g : I −→ F sur I(a).
Alors il existe une fonction f : I −→ F telle que pour tout a ∈ I la suite de fonctions (f p )
converge uniformément vers f sur I(a) et l’on a
k=0
f ′ (t) = g(t) pour tout t ∈ I.
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