LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Corollaire 2.4.2 Soit U un ouvert de R n et f : U −→ R m , f = (f 1 , · · · , f m ).
a) On suppose que les dérivées partielles ∂f i
∂x j
, (i, j) ∈ [1, m] × [1, n] existent au voisinage
d’un point a ∈ U et sont continues en a. Alors f est différentiable en a et pour tout h ∈ R n
où J f (a) est la matrice (m, n) définie par
Df(a)(h) = J f (a)h,
(J f (a)) i,j = ∂f i
∂x j
(a).
b) De plus si les dérivées partielles ∂f i
∂x j
, (i, j) ∈ [1, m] × [1, n] sont continues sur U alors f
est de classe C 1 sur U.
Démonstration. a) Utilisant la Proposition 2.4.4, on a, pour tout i ∈ [1, m], j ∈ [1, n], x ∈ U et
h ∈ R,
( ∂fi
|(D j f i (x) − D j f i (a))(h)| = ∣ (x) − ∂f )
i
(a) h∣
∂x j ∂x j
ce qui montre que
=
∣ ∂f i
(x) − ∂f i ∣
(a) ∣|h|,
∂x j ∂x j
‖D j f i (x) − D j f i (a)‖ L(R,R)
= ∣ ∂f i
(x) − ∂f i ∣
(a) ∣.
∂x j ∂x j
Il en résulte que les applications D i f j sont continues en a. Utilisant les Théorèmes 2.3.1 et 2.4.1,
on obtient bien que f est différentiable en a. Le calcul de Df(a)(h) découle alors du Corollaire
2.3.1.
b) Montrons que les différentielles partielles D i f, 1 ≤ i ≤ n sont continues. Pour tout u ∈ R
et pour tout x ∈ U, on a, utilisant la Proposition 2.4.4
D i f(x)(u) = Df(x)(ue i )
= (Df 1 (x)(ue i ), · · · , Df m (x)(ue i ))
( ∂f1
= u (x), · · · , ∂f )
m
(x) .
∂x i ∂x i
Il en résulte que
( ‖D i f(z) − D i f(x)‖ L(R,R m ) =
∂f1
∥ (z) − ∂f 1
(x), · · · , ∂f m
(z) − ∂f )∥
m ∥∥∥
(x) .
∂x i ∂x i ∂x i ∂x i
Il suffit alors d’appliquer le Corollaire 2.4.1.
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